Tích phân \(\int_1^2\dfrac{\text{d}x}{\left(x+1\right)\sqrt{x}+x\sqrt{x+1}}\) bằng
\(\sqrt{32}+\sqrt{12}+2\). \(\sqrt{32}-\sqrt{12}-2\). \(\sqrt{32}+\sqrt{12}-2\). \(\sqrt{32}-\sqrt{12}-2\). Hướng dẫn giải:Cách 1 (sử dụng MTCT): Bấm máy tính tich phân đã cho rồi lưu kết quả vào biến M. Nhập vào máy biểu thức \(\text{A}+\text{B}+\text{D}-\text{M}\). CALC biểu thức này lần lượt với
* \(\text{A}=\sqrt{32},\text{B}=\sqrt{12},\text{D}=2\)
* \(\text{A}=\sqrt{32},\text{B}=-\sqrt{12},\text{D}=-2\)
* \(\text{A}=\sqrt{32},\text{B}=\sqrt{12},\text{D}=-2\)
* \(\text{A}=\sqrt{32},\text{B}=-\sqrt{12},\text{D}=-2\)
Ta thấy với \(\text{A}=\sqrt{32},\text{B}=-\sqrt{12},\text{D}=-2\) thì kết quả bằng \(0\), suy ra \(\sqrt{32}-\sqrt{12}-2\) là đáp số đúng.
Cách 2 (biến đổi tích phân): Ta có
\(\dfrac{1}{\left(x+1\right)\sqrt{x}+x\sqrt{x+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{x\left(x+1\right)}\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{x}\right)}=\dfrac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{\sqrt{x}.\sqrt{x+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}-\dfrac{1}{\sqrt{x+1}}\)
Vậy thì \(\int_1^2\dfrac{\text{d}x}{\left(x+1\right)\sqrt{x}+x\sqrt{x+1}}=\int_1^2\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}-\dfrac{1}{\sqrt{x+1}}\right)\text{d}x=\int_1^2\dfrac{1}{\sqrt{x}}\text{d}x-\int_1^2\dfrac{1}{\sqrt{x+1}}\text{d}x\)\(=\int_1^2x^{-\frac{1}{2}}\text{d}x-\int_1^2\left(x+1\right)^{-\frac{1}{2}}\text{d}x\)
\(=2\left(\sqrt{x}-\sqrt{x+1}\right)|^2_1=2\sqrt{2}-2\sqrt{3}-2+2\sqrt{2}=4\sqrt{2}-2\sqrt{3}-2=\sqrt{32}-\sqrt{12}-2\).