Tích phân \(\int_0^{\frac{\pi}{4}}x\tan^2x\text{d}x\) bằng
\(-\dfrac{\pi^2}{16}+\dfrac{\pi}{4}+\ln\dfrac{\sqrt{2}}{2}\). \(-\dfrac{\pi^2}{32}+\dfrac{\pi}{4}+\ln\dfrac{\sqrt{2}}{2}\). \(\dfrac{\pi^2}{32}-\dfrac{\pi}{4}+\ln\dfrac{\sqrt{2}}{2}\). \(\dfrac{\pi^2}{32}+\dfrac{\pi}{4}-\ln\dfrac{\sqrt{2}}{2}\). Hướng dẫn giải:Cách 1 (sử dụng MTCT): Bấm máy tính tính tích phân đã cho và lưu kết quả vào biến nhớ M.
Để kiểm tra đáp số \(-\dfrac{\pi^2}{16}+\dfrac{\pi}{4}+\ln\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) ta nhập vào máy biểu thức \(-\dfrac{\pi^2}{16}+\dfrac{\pi}{4}+\ln\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\text{M}\). Máy tính cho kết quả khác 0.
Để kiểm tra đáp số \(-\dfrac{\pi^2}{32}+\dfrac{\pi}{4}+\ln\dfrac{\sqrt{2}}{2}\), ta dịch chuyển con trỏ để sửa biểu thức cũ thành \(-\dfrac{\pi^2}{32}+\dfrac{\pi}{4}+\ln\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\text{M}\), bấm máy thấy kết quả bằng \(0.\)Đáp số \(-\dfrac{\pi^2}{32}+\dfrac{\pi}{4}+\ln\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)là đúng.
Cách 2 (biến đổi vi phân và tích phân từng phần):
\(\int_0^{\frac{\pi}{4}}x\tan^2x\text{d}x=\int^{\frac{\pi}{4}}_0x\left(-1+1+\tan^2x\right)\text{d}x=-\int^{\frac{\pi}{4}}_0x\text{d}x+\int^{\frac{\pi}{4}}_0x.\left(\dfrac{1}{\cos^2x}\text{d}x\right)=-\dfrac{x^2}{2}|^{\frac{\pi}{4}}_0+\int^{\frac{\pi}{4}}_0x\text{d}\left(\tan x\right)\)
\(=-\dfrac{\pi^2}{32}+x\tan x|^{\frac{\pi}{4}}_0-\int^{\frac{\pi}{4}}_0\tan x\text{d}x=-\dfrac{\pi^2}{32}+\dfrac{\pi}{4}+\ln\left|\cos x\right||^{\frac{\pi}{4}}_0=-\dfrac{\pi^2}{32}+\dfrac{\pi}{4}+\ln\dfrac{\sqrt{2}}{2}\).