Tích phân \(\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin x\left(\sin x+\dfrac{\cos2x}{\sqrt{1+3\cos x}}\right)\text{d}x\) bằng
\(\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{118}{405}\). \(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{405}{118}\). \(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{118}{405}\). \(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{118}{405}\). Hướng dẫn giải:Cách 1 (sử dụng MTCT): Tính và lưu giá trị tích phân cần tính vào biến M.
Nhập biểu thức \(\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{118}{105}-\text{M}\) và tính giá trị biểu thức này. Máy hiện kết quả khác 0.
Chuyển con trỏ sửa biểu thức cũ thành \(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{118}{105}-\text{M}\) và tính giá trị biểu thức máy vẫn hiện kết quả khác \(0.\) Làm tương tự như vậy đối với 2 đáp số còn lại, khi nào máy báo kết quả bằng \(0\) thì đáp số đang xét đúng. Đáp số đúng là \(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{118}{105}\).
Cách 2 (biến đổi vi phân): Khai triển hàm số dưới dấu tích phân như sau
\(\sin x\left(\sin x+\dfrac{\cos2x}{\sqrt{1+3\cos x}}\right)=\sin^2x+\dfrac{\cos2x.\sin x}{\sqrt{1+3\cos x}}\).
Số hạng thứ nhất rất dễ tích phân. Xét số hạng thứ hai, chú ý rằng \(\left(\cos x\right)'=-\sin x\) và \(\cos2x=2\cos^2x-1\) nên để tích phân số hạng thứ hai có thể chọn phép đổi biến \(t=\sqrt{1+3\cos x}\). Cụ thể ta có:
+) \(\int^{\frac{\pi}{2}}_0\sin^2x\text{d}x=\int^{\frac{\pi}{2}}_0\dfrac{1-\cos2x}{2}\text{d}x=\left(\dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{4}\sin2x\right)|^{\frac{\pi}{2}}_0=\dfrac{\pi}{4}\)
+) Đặt \(t=\sqrt{1+3\cos x}\) thì \(\cos x=\dfrac{t^2-1}{3},-\sin x\text{d}x=\dfrac{2}{3}t\text{d}t\Rightarrow\sin x\cos2x\text{d}x=\left(2\cos^2x-1\right)\sin x\text{d}x=\)\(\left[2\left(\dfrac{t^2-1}{3}\right)^2-1\right].\dfrac{-2t\text{.d}t}{3}=-\dfrac{2}{27}\left(2t^4-4t^2-7\right)\text{d}t\)
Đổi cận: \(x=0\Rightarrow t=2;x=\dfrac{\pi}{2}\Rightarrow t=1.\) Do đó tích phân số hạng thứ hai ta được
\(\int^{\frac{\pi}{2}}_0\dfrac{\cos2x\sin x\text{d}x}{\sqrt{1+3\cos x}}=\int^1_2-\dfrac{2}{27}\left(2t^4-4t^2-7\right)\text{d}t=\dfrac{2}{27}\left(\dfrac{2}{5}t^5-\dfrac{4}{3}t^3-7t\right)|^2_1=-\dfrac{118}{405}\)
+) Tích phân cần tính là \(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{118}{405}\).