Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục $Ox$ hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=\sqrt{\tan x},y=0,x=0,x=\dfrac{\pi}{4}\) bằng
\(\frac{\pi}{4}\). \(\frac{\pi^2}{4}\). \(\frac{\sqrt{\pi}}{4}\). \(\frac{\pi\ln2}{4}\). Hướng dẫn giải:\(V=\pi\int\limits^{\dfrac{\pi}{4}}_0\left(\sqrt{\tan x}\right)^2\text{dx}=\pi\int\limits^{\dfrac{\pi}{4}}_0\tan x\text{dx}\)
\(=\pi\int\limits^{\dfrac{\pi}{4}}_0\dfrac{\sin x}{\cos x}\text{dx}=-\pi\int\limits^{\dfrac{\pi}{4}}_0\dfrac{d\left(\cos x\right)}{\cos x}=-\pi.\ln\cos x|^{\dfrac{\pi}{4}}_0\)
\(=-\pi\left(\ln\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=\pi\ln\sqrt{2}=\dfrac{1}{2}\pi\ln2\).