Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y=x^3+mx^2+1\) (với \(m\ne0\)) là
\(y=-\dfrac{2m}{3}x+1\). \(y=-\dfrac{2m^2}{9}x+1\). \(y=\dfrac{2m}{3}x-1\). \(y=\dfrac{2m^2}{9}x-1\). Hướng dẫn giải:\(y=x^3+mx^2+1,m\ne0\Rightarrow y'=3x^2+2mx\).
\(y'=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-\frac{2m}{3}\end{matrix}\right.\)
Thực hiện phép chia đa thức y cho y' ta được thương \(q\left(x\right)=\dfrac{x}{3}+\dfrac{m}{9}\) và dư \(r\left(x\right)=-\dfrac{2m^2}{9}x+1\), như vậy
\(y=\left(\dfrac{x}{3}+\dfrac{m}{9}\right)y'-\dfrac{2m^2}{9}x+1\)
Tọa độ 2 điểm cực trị của đồ thị xác định bởi
\(\left\{{}\begin{matrix}y'=0\\y=y'.q\left(x\right)+r\left(x\right)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y'=0\\y=r\left(x\right)\end{matrix}\right.\)
Do đó tọa độ 2 điểm cực trị thỏa mãn phương trình bậc nhất \(y=r\left(x\right)=-\dfrac{2m^2}{9}x+1\). Đây là phương trình đường thẳng cần tìm.