Nếu \(A\left(x_1;y_1\right);B\left(x_2;y_2\right)\) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y=\dfrac{x^3}{3}-mx^2-x+m\) thì tỉ số \(\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\) bằng
\(\dfrac{2}{3}\left(1+m^2\right)\). \(\dfrac{1}{3}\left(1+m^2\right)\). \(-\dfrac{2}{3}\left(1+m^2\right)\). \(\dfrac{-1}{3}\left(1+m^2\right)\). Hướng dẫn giải:\(y=\dfrac{x^3}{3}-mx^2-x+m\Rightarrow y'=x^2-2mx-1\). Thực hiện phép chia đa thức \(y\) cho đa thức \(y'\) ta được thương \(q\left(x\right)=\dfrac{x}{3}-\dfrac{m}{3}\) và dư \(r\left(x\right)=-\dfrac{2}{3}\left(m^2+1\right)x+\dfrac{2m}{3}\). Từ đó \(y=y'.q\left(x\right)+r\left(x\right).\) Hai điểm cực trị \(A,B\) của đồ thị hàm số đã cho có tọa độ thỏa mãn hệ
\(\left\{{}\begin{matrix}y'=0\\y=y'.q\left(x\right)+r\left(x\right)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y'=0\\y=r\left(x\right)\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2-2mx-1=0\\y=-\dfrac{2}{3}\left(m^2+1\right)x+\dfrac{2m}{3}\end{matrix}\right.\)
Như vậy \(A,B\) có tọa độ thỏa mãn phương trình bậc nhất \(y=-\dfrac{2}{3}\left(m^2+1\right)x+\dfrac{2m}{3}\) nên \(A,B\) nằm trên đường thẳng này và tỉ số cần tính chính là hệ số góc của đường thẳng.
Đáp số: \(-\dfrac{2}{3}\left(1+m^2\right)\).