Một trang trại chăn nuôi dự định xây dựng một hầm biogas với thể tích \(12m^3\) để chứa chất thải chăn nuôi và tạo khí sinh học. Dự kiến hầm chứa có dạng hình hộp chữ nhật có chiều sâu gấp rưỡi chiều rộng. Các kích thước đáy (dài, rộng - tính bằng đơn vị \(m\)), làm tròn đến 2 chữ số thập phân sau dấu phẩy) của hầm biogas để thi công tiết kiệm nguyên vật liệu nhất (không tính đến bề dày của thành bể) là
Dài \(2,42\) và rộng \(1,82\) Dài \(2,74\) và rộng \(1,71\) Dài \(2,26\) và rộng \(1,88\) Dài \(2,19\) và rộng \(1,91.\) Hướng dẫn giải:Gọi chiều sâu và chiều rộng của bể lần lượt là \(3x\) và\(2x\) (\(m\))
Chiều dài của bể là \(\dfrac{12}{2x.3x}=\dfrac{2}{x^2}\)
Để tiết kiệm nguyên vật liệu nhất thì diện tích toàn phần của bề phải nhỏ nhất . Ta có diện tích \(S\) cần xây (diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật là
\(S=2\left(\dfrac{2}{x^2}.2x+\dfrac{2}{x^2}.3x+2x.3x\right)=2\left(\dfrac{10}{x}+6x^2\right)=2\left(\dfrac{5}{x}+\dfrac{5}{x}+6x^2\right)\)
Theo bất đẳng thức Côsi (cho ba số dương) thì
\(\dfrac{5}{x}+\dfrac{5}{x}+6x^2\ge3\sqrt[3]{\dfrac{5}{x}.\dfrac{5}{x}.6x^2}=3\sqrt[3]{150}\)
Suy ra \(S\ge6\sqrt[3]{150}\), giá trị nhỏ nhất đạt được khi và chỉ khi \(\dfrac{5}{x}=6x^2\Leftrightarrow x=\sqrt[3]{\dfrac{5}{6}}\), chiều dài và chiều rộng của đáy hình hộp (làm tròn đến 2 chữ số sau dấu phẩy) là \(\dfrac{2}{x^2}=2\sqrt[3]{\dfrac{36}{25}}\approx2,26\) và \(2x=2\sqrt[3]{\dfrac{5}{6}}\approx1,88\).
