Kí hiệu \(V_1,V_2\) lần lượt là thể tích hình cầu bán kính đơn vị và thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng \(y=-2x+2\) và đường cong \(y=2\sqrt{1-x^2}\). Hãy so sánh \(V_1,V_2\).
\(V_1< V_2\) \(V_1=V_2\) \(V_1>V_2\) \(V_1=2V_2\) Hướng dẫn giải:Hai đồ thị \(y=-2x+2\) và \(y=2\sqrt{1-x^2}\) cắt nhau tại điểm có hoành độ là nghiệm phương trình:
\(-2x+2=2\sqrt{1-x^2}\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-x+1\ge0\\-2x+2=2\sqrt{1-x^2}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\le1\\\left(-x+1\right)^2=1-x^2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow x=0;x=1\)
Thể tích \(V_2\) khối tròn xoay tạo thành như sau:
\(V_2=\pi\int\limits^1_0\left|\left(-2x+2\right)^2-\left(2\sqrt{1-x^2}\right)^2\right|\text{d}x\)
\(=\pi\int\limits^1_0\left|8\left(x^2-x\right)\right|\text{dx}=8\pi\int\limits^1_0\left(x-x^2\right)\text{dx}\)
\(=8\pi\left(\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}\right)|^1_0=\dfrac{8\pi}{6}=\dfrac{4\pi}{3}\)
Thể tích khối cầu bán kính đơn vị là:
\(V_1=\dfrac{4}{3}\pi.1^3=\dfrac{4\pi}{3}\)
Vậy \(V_1=V_2\)