Kí hiệu \(V_1;V_2\) lần lượt là thể tích hình cầu bán kính đơn vị và thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng \(y=-2x+2\) và đường cong \(y=2\sqrt{1-x^2}\). Tỉ số \(\frac{V_1}{V_2}\) bằng
\(1\). \(2\). \(\frac{1}{2}\). \(\frac{1}{3}\). Hướng dẫn giải:Thể tích hình cầu bán kính đơn vị là \(V_1=\frac{4}{3}\pi.1^3=\frac{4}{3}\pi\).
Ta tích thể tích khối tròn xoay thứ hai như sau:
Đường thẳng \(y=-2x+2\) và đường cong \(y=2\sqrt{1-x^2}\) cắt nhau tại điểm có hoành độ thỏa mãn:
\(-2x+2=2\sqrt{1-x^2}\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}-x+1\ge0\\\left(-x+1\right)^2=1-x^2\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}x\le1\\x=0;x=1\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=0\\x=1\end{array}\right.\)
Thể tích khối tròn xoay thứ hai tính theo công thức:
\(V_2=\pi\int\limits^1_0\left|\left(-2x+2\right)^2-\left(2\sqrt{1-x^2}\right)^2\right|\text{d}x\)
\(=8\pi\int\limits^1_0\left|x^2-x\right|\text{d}x\)
\(=8\pi\int\limits^1_0\left(x-x^2\right)\text{d}x\)
\(=8\pi\left(\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right)|^1_0\)
\(=\frac{4\pi}{3}\)
Vậy \(V_1=V_2=\frac{4\pi}{3}\Rightarrow\frac{V_1}{V_2}=1.\)