Kí hiệu \(S_1;S_2;S_3\) lần lượt là diện tích hình vuông đơn vị (có cạnh bằng đơn vị), hình tròn đơn vị (có bán kính bằng đơn vị), hình phẳng giới hạn bởi hai đường \(y=2\sqrt{1-x^2};y=2\left(1-x\right)\). Tỉ số \(\frac{S_1+S_3}{S_2}\) bằng
\(\frac{1}{3}\). \(\frac{1}{4}\). \(\frac{1}{2}\). \(\frac{1}{5}\). Hướng dẫn giải:Diện tích hình vuông đơn vị \(S_1=1\).
Diện tích hình tròn đơn vị: \(S_2=\pi.1^2=\pi\).
Hai đường \(y=2\sqrt{1-x^2};y=2\left(1-x\right)\) cắt nhau tại các điểm có hoành độ thỏa mãn:
\(2\sqrt{1-x^2}=2\left(1-x\right)\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}x\le1\\1-x^2=1-x\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=0\\x=1\end{array}\right.\)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường trên là:
\(S_3=\int\limits^1_0\left|2\sqrt{1-x^2}-2\left(1-x\right)\right|\text{d}x\)
Cách 1 (sử dụng MTCT): \(\frac{S_1+S_3}{S_2}=\left(1+\int\limits^1_0\left|2\sqrt{1-x^2}-2\left(1-x\right)\right|\text{d}x\right):\pi\). Bấm máy tính giá trị biểu thức này được kết quả là \(\frac{1}{2}.\)
Cách 2 (đổi biến): Với \(0\le x\le1\) thì \(2\sqrt{1-x^2}\ge2\left(1-x\right)\) (vì \(1-x^2\ge\left(1-x\right)^2\Leftrightarrow2x\left(x-1\right)\le0\))
Suy ra:
\(S_3=\int\limits^1_0\left[2\sqrt{1-x^2}-2\left(1-x\right)\right]\text{d}x\)
Đặt \(x=\sin t\) \(\Rightarrow\text{d}x=\cos t\text{d}t\)
\(S_3=\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_02\left[\sqrt{1-\sin^2t}-\left(1-\sin t\right)\right]\cos t\text{d}t\)
\(=2\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\left(\cos t-1+\sin t\right)\cos t\text{d}t\)
\(=2\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\left|\cos^2t-\cos t+\sin t\cos t\right|\text{d}t\)
\(=2\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\left(\frac{1+\cos2t}{2}-\cos t+\frac{\sin2t}{2}\right)\text{d}t\)
\(=\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\left(1+\cos2t-2\cos t+\sin2t\right)\text{d}t\)
\(=\left(t+\frac{1}{2}\sin2t-2\sin t-\frac{1}{2}\cos2t\right)|^{\frac{\pi}{2}}_0\)
\(=\frac{\pi}{2}-1\)
\(\Rightarrow\frac{S_1+S_3}{S_2}=\frac{1+\frac{\pi}{2}-1}{\pi}=\frac{1}{2}\).