Khẳng định nào sau đây sai?
\(\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\sin^8x\text{d}x=\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\sin^8t\text{dt}\). \(\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\cos^8x\text{d}x=\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\cos^8t\text{dt}\). \(\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\sin^8x\text{d}x=0\). \(\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\sin^8x\text{d}x=\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\cos^8x\text{d}x\). Hướng dẫn giải:Cách 1 (dùng MTCT): Bấm máy tính ta được suy ra \(\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\sin^8x\text{d}x=0\) là khẳng định sai.
Cách 2 : \(\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\sin^8x\text{d}x=\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\sin^8t\text{dt}\) và \(\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\cos^8x\text{d}x=\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\cos^8t\text{dt}\) đúng vì tích phân xác định không phụ thuộc biến tính tích ohân.
Ngoài ra, nếu đổi \(x=\dfrac{\pi}{2}-t\) thì ta có \(\text{d}x=-\text{dt}\) nên
\(\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\sin^8x\text{d}x=\int\limits^0_{-\frac{\pi}{2}}\sin^8\left(\frac{\pi}{2}-t\right)\text{-dt}=\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\cos^8t\text{dt}=\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\cos^8x\text{d}x\)
Vậy chỉ có \(\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\sin^8x\text{d}x=0\) là sai.