Khẳng định nào sau đây sai ?
\(\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\sin^8x\text{d}x=\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\sin^8t\text{d}t\). \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\cos^8x\text{d}x=\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\cos^8t\text{d}t\). \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\sin^8x\text{d}x=0\). \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\sin^8x\text{d}x=\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\cos^8x\text{d}x\). Hướng dẫn giải:Vì tích phân xác định không phụ thuộc kí hiệu biến lấy tích phân nên \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\sin^8x\text{d}x=\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\sin^8t\text{d}t\) và \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\cos^8x\text{d}x=\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\cos^8t\text{d}t\).
Đổi biến \(x=\dfrac{\pi}{2}-t\) , ta có \(dx=-\text{dt}\) nên
\(\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\sin^8xdx=\int\limits^0_{-\dfrac{\pi}{2}}\sin^8\left(\dfrac{\pi}{2}-t\right)\left(-\text{d}t\right)\text{ }=\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\cos^8t\text{dt}=\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\cos^8x\text{dx}\)
Vậy \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\sin^8xdx=0\) sai.
Cách khác: Dùng MTCT tính được \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\sin^8x\text{d}x=\). Do đó khẳng định \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\sin^8xdx=0\) sai.