Hàm số \(F\left(x\right)\) thỏa mãn \(F'\left(x\right)=3x^2+2x+1\) và đồ thị \(y=F\left(x\right)\) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \(e.\) Khẳng định nào sau đây đúng?
\(F\left(x\right)=x^2+x+e\).\(F\left(x\right)=\cos2x+e-1\).\(F\left(x\right)=x^3+x^2+x+1\).\(F\left(x\right)=x^3+x^2+x+e\).Hướng dẫn giải:Cách 1: Loại trường hợp \(F\left(x\right)=x^3+x^2+x+1\) vì đồ thị cắt trục tung tại tung độ bằng \(1\) (khác \(e\)).
Trong các hàm còn lại, chỉ có \(F\left(x\right)=x^3+x^2+x+e\) thỏa mãn \(F'\left(x\right)=3x^2+2x+1\).
Cách 2: \(F\left(x\right)=\int F'\left(x\right)\text{dx}=\int\left(3x^2+2x+1\right)\text{dx}=x^3+x^2+x+C.\) Điều kiện đồ thị hàm số \(y=F\left(x\right)\) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \(e\Leftrightarrow F\left(0\right)=e\Leftrightarrow C=e.\) Đáp số: \(F\left(x\right)=x^3+x^2+x+e\).