Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá tị nguyên của tham số m sao cho phương trình \(16^x-m.4^{x+1}+5m^2-45=0\) có hai nghiệm phân biệt. Hỏi \(S\) có bao nhiêu phần tử?
\(4\). \(6\). \(13\). \(3\). Hướng dẫn giải:\(16^x-m.4^{x+1}+5m^2-45=0\) (*)
Đặt \(t=4^x\left(t>0\right)\Leftrightarrow x=\log_4t\), phương trình đã cho trở thành \(t^2-4mt+5m^2-45=0\) (*)
(*) có \(\Delta'=\left(2m\right)^2-\left(5m^2-54\right)=45-m^2\)
Phương trình đã cho sẽ có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt.
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta>0\\S>0\\P>0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2< 45\\4m>0\\5m^2-45>0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>0\\9< m^2< 45\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow m\in\left\{4;5;6\right\}\)
Vậy \(S\) có \(3\) phần tử.