Giải phương trình \(\tan\left(3x\right).\tan x=1\)
\(x=\frac{\pi}{8}+k\frac{\pi}{4}\) , \(k\in\mathbb{Z}\)Phương trình vô nghiệm\(x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{4}\) , \(k\in\mathbb{Z}\)\(x=\frac{\pi}{6}+k\frac{\pi}{3}\) , \(k\in\mathbb{Z}\)Hướng dẫn giải:
Điều kiện: \(\tan x\) có nghĩa và khác 0 , tức là \(\sin x\ne0\) và \(\cos x\ne0\) hay biểu diễn trên đương tròn lượng giác \(x\) không trùng với bốn giao điểm của đường tròn lượng giác với hai trục tọa độ. Với điều kiện này, phương trình đã cho tương đương với
\(\tan\left(3x\right)=\dfrac{1}{\tan x}\) \(\Leftrightarrow\tan\left(3x\right)=\cot x\) \(\Leftrightarrow\tan\left(3x\right)=\tan\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\) \(\Leftrightarrow3x=\frac{\pi}{2}-x+k\pi\) ( với \(k\in\mathbb{Z}\) ) \(\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{8}+k\frac{\pi}{4}\) (\(k\in\mathbb{Z}\))
Đối chiếu với điều kiện ta thấy họ nghiệm trên thỏa mãn.
Cách khác: \(\tan3x.\tan x=1\Leftrightarrow1-\dfrac{\sin3x.\sin x}{\cos3x.\cos x}=0\Leftrightarrow\dfrac{\cos3x.\cos x-\sin3x.\sin x}{\cos3x.\cos x}=0\Leftrightarrow\dfrac{\cos4x}{\dfrac{1}{2}\left(\cos4x+\cos2x\right)}=0\)\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}\cos4x=0\\\cos4x+\cos2x\ne0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\cos4x=0\\0+\cos2x\ne0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2\cos^22x-1=0\\\cos2x\ne0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow2\cos^22x-1=0\Leftrightarrow\cos4x=0\Leftrightarrow4x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\) .\Đáp số: \(x=\dfrac{\pi}{8}+k\dfrac{\pi}{4},k\in\mathbb{Z}\)