\(F\left(x\right)\) là nguyên hàm của hàm số \(f\left(x\right)=-\dfrac{1}{\sin^2x}\) trên khoảng \((0;\pi)\) và \(F\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=\dfrac{\pi}{2}\). Khẳng định nào sau đây đúng?
\(F\left(x\right)=x,x\in\left(0;\pi\right)\). \(F\left(x\right)=\sin x+\dfrac{\pi}{2}-1,x\in\left(0;\pi\right)\). \(F\left(x\right)=\cot x,x\in\left(0;\pi\right)\). \(F\left(x\right)=\cot x+\dfrac{\pi}{2},x\in\left(0;\pi\right)\). Hướng dẫn giải:Vì \(F\left(x\right)\) là nguyên hàm của \(f\left(x\right)=-\dfrac{1}{\sin^2x}\) trên khoảng \((0;\pi)\) nên \(F\left(x\right)=\int-\dfrac{1}{\sin^2x}\text{dx}=\cot x+C,x\in\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right).\)
Giả thiết \(F\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=\dfrac{\pi}{2}\Leftrightarrow\cot\dfrac{\pi}{2}+C=\dfrac{\pi}{2}\Leftrightarrow C=\dfrac{\pi}{2}.\) Do đó \(F\left(x\right)=\cot x+\dfrac{\pi}{2},x\in\left(0;\pi\right).\)