Đồ thị hàm số \(y=-x^4+2mx^2-5\) có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân khi
\(m=1\). \(m=1\) hoặc \(m=0\). \(m=-1\). \(m=-1\) hoặc \(m=0\). Hướng dẫn giải:
\(y'=-4x^3+4mx=-4x\left(x^2-m\right)\)
Để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị thì điều kiện cần và đủ là \(y'\) phải có ba nghiệm phân biệt hay \(x^2-m\) phải có hai nghiệm phân biệt khác \(0\) hay \(m>0\) (1).
Khi đó \(y'\) có ba nghiệm là \(-\sqrt{m};0;\sqrt{m}\) cũng là hoành độ ba điểm cực trị của đồ thị hàm số. Các điểm cực trị của đồ thị là:
\(A\left(-\sqrt{m};y\left(-\sqrt{m}\right)=m^2-5\right),B\left(0;y\left(0\right)=-5\right),C\left(\sqrt{m};y\left(\sqrt{m}\right)=m^2-5\right)\)
Vì tam giác \(ABC\) cân tại \(B\) và có \(\overrightarrow{BA}=\left(-\sqrt{m};m^2\right),\overrightarrow{BC}\left(\sqrt{m};m^2\right).\) Yêu cầu bài toán trở thành
\(\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=0\Leftrightarrow-m+m^4=0\Leftrightarrow m\left(m^3-1\right)=0\Leftrightarrow m=1\) (do điều kiện (1)).