Đặt \(I=\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\sin x.\cos^3x.e^{\sin^2x}\text{d}x\) và \(t=\sin^2x\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
\(I=\dfrac{1}{2}\int\limits^1_0e^t\left(1-t\right)\text{dt}\). \(I=2\int\limits^1_0e^t\left(1-t\right)\text{dt}\). \(I=\dfrac{1}{2}\int\limits^1_0e^t\left(1+t\right)\text{dt}\). \(I=2\int\limits^1_0e^t\left(1+t\right)\text{dt}\). Hướng dẫn giải:\(t=\sin^2x\) suy ra \(\text{dt}=2\sin x.\cos x\text{d}x\).
Đổi biến số \(x|^{\frac{\pi}{2}}_0\Rightarrow t|^1_0\).
Vậy
\(I=\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\cos^2x\sin x\cos x.e^{\sin^2}\text{d}x=\dfrac{1}{2}\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\left(1-\sin^2x\right).e^{\sin^2x}2.\sin x.\cos x\text{d}x\)
\(=\dfrac{1}{2}\int\limits^1_0\left(1-t\right)e^t\text{dt}\).