Cho \(y=x^3-3mx^2+3(m^2-1)x-m^3+5m\). Biết rằng với mọi \(m\), đồ thị hàm số luôn có hai điểm cực trị . Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là
\(\sqrt{20}\). \(\sqrt{18}\). \(\sqrt{22}\). \(\sqrt{24}\). Hướng dẫn giải:\(y=x^3-3mx^2+3(m^2-1)x-m^3+5m=\left(x-m\right)^3-3x+5m\)
\(\Rightarrow y'=3\left(x-m\right)^2-3\)
$y'$ luôn có 2 nghiệm phân biệt \(m-1\) và \(m+1\).
- Với \(x=m-1\) thì \(y=\left(m-1-m\right)^3-3\left(m-1\right)+5m=2m+2\).
Tương tự, với \(x=m+1\) thì \(y=2m-2.\)
- Vậy với mọi \(m\) đồ thị hàm số luôn có hai điểm cực trị \(A\left(m-1;2m+2\right)\), \(B\left(m+1;2m-2\right)\).
Khoảng cách giữa hai điểm cực trị này là
\(AB=\sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2}\)
\(=\sqrt{\left(m+1-m+1\right)^2+\left(2m+2-2m+2\right)^2}\)
\(=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}\)