Cho (x; y) là nghiệm của hệ phương trình $\begin{cases} \frac{3}{x} + \frac{2}{y} = 7 \\ \frac{2}{x} - \frac{5}{y} = -27 \end{cases}$ và cùng với các khẳng định sau:
(i) Hệ phương trình cho điều kiện xác định là $x \neq 0$ và $y \neq 0$.
(ii) Phương trình có nghiệm là (-1; 5).
(iii) Tổng bình phương của x và y lớn hơn 20.
Có bao nhiêu khẳng định đúng trong các khẳng định trên?
0.1.2.3.Hướng dẫn giải:
Hệ phương trình cho điều kiện xác định là $x \neq 0$ và $y \neq 0$.
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất của hệ với 2 và nhân hai vế của phương trình thứ hai của hệ với 3, ta được hệ mới: $\begin{cases} \frac{6}{x} + \frac{4}{y} = 14 \\ \frac{6}{x} - \frac{15}{y} = -81 \end{cases}$
Trừ từng vế của phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ mới, ta được:
$\frac{19}{y} = 95$, suy ra $y = \frac{1}{5}$ (thỏa mãn).
Thay $y = \frac{1}{5}$ vào phương trình $\frac{3}{x} + \frac{2}{y} = 7$, ta được:
$\frac{3}{x} + 2 \cdot 5 = 7$ suy ra $\frac{3}{x} = -3$ nên $x = -1$ (thỏa mãn).
Như vậy, hệ phương trình đã cho có nghiệm là $(-1; \frac{1}{5})$.
Tổng bình phương của x và y là: $(-1)^2 + (\frac{1}{5})^2 = \frac{26}{25} < 20$.
Vậy chỉ có 1 khẳng định đúng là (i).
