Cho $x + y > 1$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
$x^2 + y^2 = \frac{1}{2}$.$x^2 + y^2 < \frac{1}{2}$.$x^2 + y^2 \leq \frac{1}{2}$.$x^2 + y^2 > \frac{1}{2}$.Hướng dẫn giải:
Bình phương hai vế của bất đẳng thức $x + y > 1$ ta được: $x^2 + 2xy + y^2 > 1$ (1)
Từ bất đẳng thức $(x - y)^2 \geq 0$, ta có: $x^2 - 2xy + y^2 \geq 0$ (2)
Cộng từng vế của (1) và (2), ta được:
$2x^2 + (2xy - 2xy) + 2y^2 > 1 + 0$ hay $2x^2 + 2y^2 > 1$.
Tức là, $2(x^2 + y^2) > 1$.
Khi đó $x^2 + y^2 > \frac{1}{2}$.
