Cho vectơ \(\overrightarrow{v}=\left(1;2\right)\) và đường thẳng (d') có phương trình \(x-y+3=0\). Hãy viết phương trình đường thẳng (d) sao cho ảnh của (d) qua phép tịnh tiến \(T_{\overrightarrow{v}}\) là đường thẳng (d').
\(x-y+2=0\).\(x-y+4=0\).\(y-x+2=0\).\(y-x+4=0\).Hướng dẫn giải:Gọi điểm M(x ; y) thuộc đường thẳng (d), và \(M'\left(x',y'\right)=T_{\overrightarrow{v}}\left(M\right)\) . Tọa độ M' là:
\(M'\left(x';y'\right)=M'\left(x+1;y+2\right)\)
Vì M'(x' ; y') thuộc đường thẳng (d') nên tọa độ của nó thỏa mãn phương trình (d'), tức là:
\(x'-y'+3=0\)
Hay là:
\(\left(x+1\right)-\left(y+2\right)+3=0\)
\(\Leftrightarrow x-y+2=0\)
Vậy M(x; y) thuộc đường thẳng (d) thỏa mãn phương trình trên, và đó cũng chính là phương trình của đường thẳng (d)
Cách khác: Trong phương trình của d' cho x = 0 ta được y = 3. Vì vậy d' qua A'(0;3). Gọi A(x;y) là điểm mà \(T_{\overrightarrow{v}\left(1;2\right)}\left(A\right)=A'\left(0;3\right)\) thì
\(\left\{{}\begin{matrix}x+1=0\\y+2=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-1\\y=1\end{matrix}\right.\). Như vậy, d phải là đường thẳng qua A(-1;1) và song song với d': \(x-y+3=0\) , tức là
d: \(1.\left(x+1\right)-1.\left(y-1\right)=0\) hay d: \(x-y+2=0\).
