Cho nửa đường tròn $(O; R)$ đường kính $AB$. Vẽ các tia tiếp tuyến $Ax$, $By$ với nửa đường tròn. Lấy điểm $M$ di động trên tia $Ax$, điểm $N$ di động trên tia $By$ sao cho $AM.BN = R^2$. Cho các nhận định sau:
(i) $MN$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$
(ii) $\widehat{MON} = 90^\circ$
Kết luận nào sau đây là đúng nhất?
Chỉ (i) đúng.Chỉ (ii) đúng.Cả (i), (ii) đều đúng.Cả (i), (ii) đều sai.Hướng dẫn giải:
Kẻ $OH \perp MN$ tại $H$
Vì $AM.BN = R^2 = AO.BO$ nên $\frac{AM}{BO} = \frac{AO}{BN}$.
Xét $\triangle AOM$ và $\triangle BNO$ có:
$OAM = OBN = 90^\circ$ (vì $AM$, $BN$ là các tiếp tuyến của $(O)$);$\frac{AM}{BO} = \frac{AO}{BN}$ (chứng minh trên).Do đó $\triangle AOM \infty \triangle BNO$ (c.g.c)
Suy ra $\widehat{M_1} = \widehat{O_2}; \widehat{O_1} = \widehat{N_1}$ và $\frac{AM}{BO} = \frac{OM}{ON}$ hay $\frac{AM}{OM} = \frac{BO}{ON}$.
Vì tam giác $AOM$ vuông tại $A$ nên $\widehat{M_1} + \widehat{O_1} = 90^\circ$. Suy ra $\widehat{O_1} + \widehat{O_2} = 90^\circ$.
Ta có $\widehat{AOB} = 180^\circ$ hay $\widehat{O_1} + \widehat{MON} + \widehat{O_2} = 180^\circ$.
Tức là, $\widehat{MON} = 180^\circ - (\widehat{O_1} + \widehat{O_2}) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Do đó (ii) là nhận định đúng.
• Xét $\triangle AOM$ và $\triangle ONM$ có:
$OAM = MON = 90^\circ$;$\frac{AM}{OM} = \frac{AO}{ON}$ (do $\frac{AM}{OM} = \frac{BO}{ON}$, $AO = BO$).Do đó $\triangle AOM \infty \triangle ONM$ (c.g.c)
Suy ra $\widehat{M_1} = \widehat{M_2}$.
Xét $\triangle AOM$ và $\triangle HOM$, có:
$OAM = HOM = 90^\circ$;$OM$ là cạnh chung; $\widehat{M_1} = \widehat{M_2}$Do đó $\triangle AOM = \triangle HOM$ (cạnh huyền - góc nhọn)
Suy ra $OA = OH$, mà $OA = R$ nên $OH = R$.
Do đó $\triangle AOM = \triangle HOM$ (cạnh huyền – góc nhọn)
Suy ra $OA = OH$, mà $OA = R$ nên $OH = R$.
Vì $OH = R$ và $OH \perp MN$ tại $H$ nên $MN$ là tiếp tuyến của đường tròn $H$.
Do đó (i) là nhận định đúng.
