Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của EF, BD. Khẳng định nào sau đây là sai?
N là trung điểm OC$\triangle AFM = \triangle AON$.Tam giác AMN đều.Cả A, B, C đều sai.Hướng dẫn giải:
- Xét phương án A:
Tổng 6 góc của lục giác đều $ABCDEF$ bằng tổng các góc trong hai tứ giác $ABCD$ và $AFED$
Suy ra tổng 6 góc của lục giác đều $ABCDEF$ bằng $2 \cdot 360^\circ = 720^\circ$.
Do tất cả các góc của lục giác đều bằng nhau nên số đo mỗi góc của lục giác đều bằng $\frac{720^\circ}{6} = 120^\circ$ hay $\widehat{AFM} = \widehat{BCD} = 120^\circ$.
Vì $CB = CD$ (chứng minh trên) nên tam giác $BCD$ cân tại $C$
Do đó $CO$ vừa là đường trung tuyến, vừa là đường phân giác của tam giác $BCD$
Vì vậy $\widehat{OCB} = \frac{\widehat{BCD}}{2} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$.
Ta có $OB = OC$ (vì $O$ là tâm của lục giác đều $ABCDEF$).
Suy ra tam giác $OBC$ cân tại $O$.
Mà $\widehat{OCB} = 60^\circ$ (chứng minh trên). Do đó tam giác $OBC$ đều.
Chứng minh tương tự cho các tam giác $\triangle OCD, \triangle OAB, \triangle OAF, \triangle ODE, \triangle OEF$, ta được $\triangle OCD, \triangle OAB, \triangle OAF, \triangle ODE, \triangle OEF$ là các tam giác đều.
Ta có tam giác $OBC$ đều nên $OB = BC = OC$, mà $OB = OC = OD$ và $BC = CD$ nên $OB = BC = CD = OD$. Suy ra tứ giác $OBCD$ là hình thoi.
Do đó hai đường chéo $OC$ và $BD$ vuông góc với nhau tại trung điểm $N$ của mỗi đường.
Vậy $N$ là trung điểm $OC$
- Xét phương án B:
Ta có $\widehat{AOB} = \widehat{BOC} = 60^\circ$ (vì các tam giác $OAB, OBC$ đều).
Suy ra $\widehat{AOC} = \widehat{AOB} + \widehat{BOC} = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$.
Ta có $EF = OC$ (cùng bằng $OF$) và M,N lần lượt là trung điểm $EF, OC$ nên $FM = ON$
Xét $\triangle AFM$ và $\triangle AON$ có:
$\widehat{AFM} = \widehat{AON} = 120^\circ$;
$AF = AO$ (tam giác $OAF$ đều);
$FM = ON$ (chứng minh trên).
Do đó $\triangle AFM = \triangle AON$ (c.g.c).
- Xét phương án C:
Từ kết quả câu b), ta được $AM = AN$ và $\widehat{FAM} = \widehat{OAN}$.
Suy ra $\triangle AMN$ cân tại A
Ta có $\widehat{FAO} = 60^\circ$ (do $\triangle OAF$ đều).
Suy ra $\widehat{FAM} + \widehat{MAO} = 60^\circ$ nên $\widehat{OAN} + \widehat{MAO} = 60^\circ$ hay $\widehat{MAN} = 60^\circ$.
Xét $\triangle AMN$ cân tại A có $\widehat{MAN} = 60^\circ$ nên $\triangle AMN$ đều.
Do đó phương án D sai.
