Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của EF, BD. Khẳng định nào sau đây là sai?

N là trung điểm OC.$\Delta AFM = \Delta AON$.Tam giác AMN đều.Cả A, B, C đều sai.

 

Hướng dẫn giải:

- Xét phương án A:
Tổng 6 góc của lục giác đều ABCDEF bằng tổng các góc trong hai tứ giác ABCD và AFFD.
Suy ra tổng 6 góc của lục giác đều ABCDEF bằng 2.360° = 720°.
Do tất cả các góc của lục giác đều bằng nhau nên số đo mỗi góc của lục giác đều bằng $\frac{720^\circ}{6} = 120^\circ$ hay $\widehat{AFM} = \widehat{BCD} = 120^\circ$.
Vì CB = CD (chứng minh trên) nên tam giác BCD cân tại C.
Do đó CO vừa là đường trung tuyến, vừa là đường phân giác của tam giác BCD.
Vì vậy $\widehat{OCB} = \frac{\widehat{BCD}}{2} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$.
Ta có OB = OC (vì O là tâm của lục giác đều ABCDEF).
Suy ra tam giác OBC cân tại O.
Mà $\widehat{OCB} = 60^\circ$ (chứng minh trên). Do đó tam giác OBC đều.
Chứng minh tương tự cho các tam giác OCD, OAB, OAF, ODE, OEF, ta được $\Delta OCD, \Delta OAB, \Delta OAF, \Delta ODE, \Delta OEF$ là các tam giác đều.
Ta có tam giác OBC đều nên OB = BC = OC, mà OB = OC = OD và BC = CD nên OB = BC = CD = OD. Suy ra tứ giác OBCD là hình thoi.
Do đó hai đường chéo OC và BD vuông góc với nhau tại trung điểm N của mỗi đường.
Vậy N là trung điểm OC.

- Xét phương án B:
Ta có $\widehat{AOB} = \widehat{BOC} = 60^\circ$ (vì các tam giác OAB, OBC đều).
Suy ra $\widehat{AOC} = \widehat{AOB} + \widehat{BOC} = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$.
Ta có EF = OC (cùng bằng OF) và M, N lần lượt là trung điểm EF, OC nên FM = ON.
Xét $\Delta AFM$ và $\Delta AON$ có:
$\widehat{AFM} = \widehat{AON} = 120^\circ$;
AF = AO (tam giác OAF đều);
FM = ON (chứng minh trên).
Do đó $\Delta AFM = \Delta AON$ (c.g.c).

- Xét phương án C:
Từ kết quả câu b), ta được AM = AN và $\widehat{FAM} = \widehat{OAN}$.
Suy ra $\Delta AMN$ cân tại A.
Ta có $\widehat{FAO} = 60^\circ$ (do $\Delta OAF$ đều).
Suy ra $\widehat{FAM} + \widehat{MAO} = 60^\circ$ nên $\widehat{OAN} + \widehat{MAO} = 60^\circ$ hay $\widehat{MAN} = 60^\circ$.
Xét $\Delta AMN$ cân tại A có $\widehat{MAN} = 60^\circ$ nên $\Delta AMN$ đều.

Do đó phương án D sai.
 

​