Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $a$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Đường tròn đi qua cả bốn đỉnh của hình vuông $ABCD$ có tâm là điểm $A$ và bán kính $R = a\sqrt{2}$.Đường tròn đi qua cả bốn đỉnh của hình vuông $ABCD$ có tâm là giao điểm hai đường chéo $AC, BD$ và bán kính $R = a\sqrt{2}$.Đường tròn đi qua cả bốn đỉnh của hình vuông $ABCD$ có tâm là điểm $A, C$ và $R = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.Đường tròn đi qua cả bốn đỉnh của hình vuông $ABCD$ có tâm là giao điểm của hai đường chéo $AC, BD$ và bán kính $R = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.Hướng dẫn giải:
Gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$ của hình vuông $ABCD$
Suy ra $O$ là trung điểm của $AC$ và $BD$
Do đó $OA = OC$ và $OB = OD$.
Mà $AC = BD$ (do $AC$ và $BD$ là hai đường chéo của hình vuông ).
Vì vậy $OA = OC = OB = OD$.
Vậy bốn đỉnh $A, B, C, D$ của hình vuông $ABCD$ cùng thuộc đường tròn tâm $O$ bán kính $OA$
Ta có $AB = BC = a$ (do $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ ).
Áp dụng định lí Pythogore cho tam giác $ABC$ vuông tại $B$ ta được:
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$.
Suy ra $AC = a\sqrt{2}$. Do đó $OA = \frac{AC}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.
Vậy đường tròn đi qua cả bốn đỉnh của hình vuông $ABCD$ cạnh $a$ có tâm là giao điểm của hai đường chéo $AC, BD$ và bán kính $R = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.
