Cho hình thang cong $(H)$ giới hạn bởi các đường $y=e^x, y = 0, x = 0, x = \ln @p.a@$. Đường thẳng $x=k$ ($0<k< \ln @p.a@$) chia $(H)$ thành hai phần có diện tích là $S$ và $D$ như hình vẽ bên. Hỏi $k$ có giá trị bằng bao nhiêu để $D = @1/p.t@S$? |
@graph([f],[p.m,p.x],[300,400],[2,7/6],[["S",0.2,1],["D",(p.m+p.x)/2,1], ["k",p.m+0.1,0], ["ln " + p.a,p.x,0]],0,1)@ |
Ta có: \(S=\int_0^ke^x\text{d}x=e^x \bigg|_0^k=e^k-1\) và \(D=\int_k^{\ln@p.a@}e^x\text{d}x=\text{e}^x \bigg|_k^{\ln@p.a@}=@p.a@-e^k.\)
theo giả thiết, \(D=@p.t1@S\Leftrightarrow@p.a@-e^k=@p.t1@\left(e^k-1\right)\Leftrightarrow k=\ln@p.k1@.\)
p.a = random(3,6); p.t = 1/random(2,4); params({a: p.a, t: p.t}); p.t1 = 1/p.t; p.k = (p.a*p.t+1)/(p.t+1); p.k1 = ps(p.a + p.t1,p.t1+1); p.k2 = ps(p.a * p.t1 + 1, p.t1 + 1); p.k3 = ps(p.a + p.t1,p.t1); p.k4 = ps(p.a*p.t1,p.t1+1); p.x = Math.log(p.a); p.h = Math.floor(300/p.a); p.m = Math.log(p.k); //p.x/2; function f(x){return Math.pow(Math.E,x)}; function ps(numerator,denominator,check){ //hiển thị phân số, check = 0 thì hiển thị dấu trừ theo ý muốn if(isNaN(numerator) || isNaN(denominator)) return '\\dfrac{'+numerator+'}{'+denominator+'}'; else{ var gcd = function gcd(a,b){ return Math.abs(b) ? Math.abs(gcd(b, a%b)) : Math.abs(a); }; gcd = gcd(numerator,denominator); var q = [numerator/gcd, denominator/gcd]; if(check != 0){ if (q[0]>0 && q[1]<0){ q[0] = q[0]*-1; q[1] = q[1]*-1; }else if(q[0]<0 && q[1]<0){ q[0] = q[0]*-1; q[1] = q[1]*-1; }; }; return (q[0] % q[1] == 0)? (q[0]/q[1]) : '\\dfrac{'+q[0]+'}{'+q[1]+'}'; }; }; function graph(func,tcd, kt,origin,point,project,path){ //[hs1, hs2, ...], [rộng, dài], vị trí của tâm O, [[tên điểm 1, x1, y1],[tên điểm 2, x2, y2]], chiếu xuống Ox, Oy hay không? var color = ['green', 'green']; var color2 = ['blue', 'BlueViolet', 'orange', 'DarkBlue', 'ForestGreen']; var w, h; if (kt.length <= 1) { w = 400; h = 400; } else{ w = kt[0]; h = kt[1]; }; var x0, y0; if (origin.length <= 1){ //gốc tọa độ x0 = w/2; y0 = h/2; }else { x0 = w/origin[0]; y0 = h/origin[1]; }; var scale = p.h; var str = '<svg width="' + w + '" height="' + h + '">'; //vẽ trục số //trục X var x_ax = '<line x1="0" y1="' + y0 + '" x2="' + w + '" y2="' + y0 + '" stroke="rgb(0,0,0)" stroke-width="2" />'; x_ax += '<polyline points="' + (w-10) + ',' + (y0-5) + ' ' + w + ',' + y0 + ' ' + (w-10) + ',' + (y0+5) + '" stroke="rgb(0,0,0)" stroke-width="1" fill="none" />'; x_ax += '<text x="' + (w-10) + '" y="' + (y0-15) + '" font-size="15">x</text>'; //trục Y var y_ax = '<line x1="' + x0 + '" y1="0" x2="' + x0 + '" y2="' + h + '" stroke="rgb(0,0,0)" stroke-width="2" />'; y_ax += '<polyline points="' + (x0-5) + ',' + 10 + ' ' + x0 + ',' + 0 + ' ' + (x0+5) + ',' + 10 + '" stroke="rgb(0,0,0)" stroke-width="1" fill="none"/>'; y_ax += '<text x="' + (x0-15) + '" y="' + 10 + '" font-size="15">y</text>'; y_ax += '<text x="' + (x0-15) + '" y="' + (y0+15) + '" font-size="15">O</text>'; //for(var i=1; i<= Math.floor((h-y0)/scale); i++){ //đường kẻ song song với Ox // str += '<line x1="0" y1="' + (y0+ i*scale) + '" x2="' + w + '" y2="' + (y0+i*scale) + '" stroke="rgb(0,0,0)" stroke-width="0.2" />'; // str += '<text x="' + (x0+5) + '" y="' + (y0+i*scale - 5) + '" font-size="12">' + (-i) + '</text>'; //}; //for(var i=1; i<= Math.floor(y0/scale); i++){ //đường kẻ song song với Ox, >0 //str += '<line x1="0" y1="' + (y0- i*scale) + '" x2="' + w + '" y2="' + (y0-i*scale) + '" stroke="rgb(0,0,0)" stroke-width="0.2" />'; // str += '<text x="' + (x0+5) + '" y="' + (y0-i*scale + 12) + '" font-size="12">' + (i) + '</text>'; //}; //for(var i=1; i<= Math.floor((w-x0)/scale); i++){ //đường kẻ song song với Oy // str += '<line x1="' + (x0+i*scale) + '" y1="0" x2="' + (x0+i*scale) + '" y2="' + h + '" stroke="rgb(0,0,0)" stroke-width="0.2" />'; // str += '<text x="' + (x0+i*scale - 10) + '" y="' + (y0 - 5) + '" font-size="12">' + i + '</text>'; //}; //for(var i=1; i<= Math.floor(x0/scale); i++){ //đường kẻ song song với Oy, <0 // str += '<line x1="' + (x0-i*scale) + '" y1="0" x2="' + (x0-i*scale) + '" y2="' + h + '" stroke="rgb(0,0,0)" stroke-width="0.2" />'; // str += '<text x="' + (x0-i*scale - 5) + '" y="' + (y0- 5) + '" font-size="12">' + (-i) + '</text>'; //}; var xx1, yy1, xx2, yy2,dx = 1 //độ chia nhỏ if(path){ // miền 1 var iLeft =0 * scale / dx; iRight = p.m * scale / dx; var xS = iLeft*dx; yS = scale*f(xS/scale); var xS1, yS1; str += '<path d="M' + (x0 + xS) + ',' +(y0 - yS); for (var i = iLeft; i <= iRight; i++){ xS1 = dx*i; yS1 = scale*f(xS1/scale); str += 'L' + (x0 + xS1) + ',' + (y0 - yS1); }; var xE = dx*iRight; yE = 0; str += 'L' + (x0 + xE) + ',' + (y0 - yE) + 'L' + (x0) + ',' + (y0) + 'z" stroke-width="1.5" stroke="none" fill="#ff6666" fill-opacity="0.5"/>' //miền 2 var iLeft2 = p.m * scale / dx; iRight2 = p.x * scale / dx; var xS2 = iLeft2*dx; yS2 = scale*f(xS2/scale); var xS12, yS12; str += '<path d="M' + (x0 + xS2) + ',' +(y0 - yS2); for (var i = iLeft2; i <= iRight2; i++){ xS12 = dx*i; yS12 = scale*f(xS12/scale); str += 'L' + (x0 + xS12) + ',' + (y0 - yS12); }; var xE2 = dx*iRight2; yE2 = 0; str += 'L' + (x0 + xE2) + ',' + (y0 - yE2) + 'L' + (x0 + xE) + ',' + (y0) + 'z" stroke-width="1.5" stroke="none" fill="#6495ed" fill-opacity="0.5"/>' } // vẽ đồ thị var iMax = Math.floor((w-x0)/dx), iMin = -Math.floor(x0/dx); for(j=0; j < func.length; j++){ for (var i=iMin; i< iMax; i++){ xx1= dx*i; xx2= dx*(i+1); if (!isNaN(func[j](xx1/scale))){ yy1 = scale*func[j](xx1/scale); yy2 = scale*func[j](xx2/scale); str += '<line x1="' + (x0+xx1) + '" y1="' + (y0-yy1)+ '" x2="' + (x0+xx2) + '" y2="' + (y0-yy2) + '" stroke="' + color[j] + '" stroke-width="1.6" />'; }; }; }; console.log(iMax, iMin); //vẽ đồ thị dạng x = a, tiệm cận đứng (tcd) for (j = 0; j < tcd.length; j++){ str += '<line x1="' + (tcd[j]*scale + x0) + '" y1="0" x2="' + (tcd[j]*scale + x0) + '" y2="' + h + '" stroke="' + color2[j] + '" stroke-width="1.6" />'; }; //points for(i = 0; i < point.length; i++){ //project if(project){ str += '<line x1="' + (x0+point[i][1]*scale) + '" y1="' + (y0-point[i][2]*scale) + '" x2="' + x0 + '" y2="' + (y0-point[i][2]*scale) + '" stroke="#003366" stroke-width="2" stroke-dasharray="7" />'; str += '<line x1="' + (x0+point[i][1]*scale) + '" y1="' + (y0-point[i][2]*scale) + '" x2="' + (x0+point[i][1]*scale) + '" y2="' + y0 + '" stroke="#003366" stroke-width="2" stroke-dasharray="7" />'; }; // str += '<circle cx="'+ (x0+point[i][1]*scale) +'" cy="' + (y0-point[i][2]*scale) + '" r="3" stroke="none" fill="red" />'; str += '<text x="' + (x0+point[i][1]*scale+ ((point[i][1]>0)? 0 : -15)) + '" y="' + (y0-point[i][2]*scale+20) + '" font-size="24" font-family="serif">' + point[i][0] + '</text>'; }; return str + x_ax + y_ax + '</svg>'; };