Cho hàm số \(y=x^3-\dfrac{3}{2}mx^2+\dfrac{m^3}{2}\) có đồ thị \(\left(C_m\right)\).
Để hai điểm cực đại và cực tiểu của \(\left(C_m\right)\) đối xứng với nhau qua đường phân giác \(y=x\) thì điều kiện cần và đủ là
\(m=\pm1\). \(m=\pm2\). \(m=\pm\sqrt{2}\). \(m=\pm\sqrt{3}\). Hướng dẫn giải:\(y=x^3-\dfrac{3}{2}mx^2+\frac{m^3}{2}\)
\(y'=3x^2-3mx\) có hai nghiệm là \(x=0,x=m.\) Hàm số có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi \(m\ne0.\) Tọa độ các điểm cực trị là
\(\left(m,0\right)\) và \(\left(0;\dfrac{m^3}{2}\right)\).
Hai điểm này sẽ đối xứng nhau qua đường phân giác \(y=x\) khi và chỉ khi \(\dfrac{m^3}{2}=m\) \(\Leftrightarrow m=0\) (loại) hoặc \(m=\pm\sqrt{2}\).