Cho hàm số \(y=\frac{x^2+2x+2m}{2x+m}\) . Tìm các giá trị của tham số \(m\) để hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn điều kiện \(y_{ct}-y_{cđ}>\sqrt{5}\)?
\(m< -4\) hoặc \(m>0\). \(-5< m< -4\). \(0< m< 1\). \(m< -5\) hoặc \(m>1\). Hướng dẫn giải:\(y=\frac{x^2+2x+2m}{2x+m}\Rightarrow y'=\frac{2x^2+2mx-2m}{\left(2x+m\right)^2}\). Hàm số sẽ có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi tam thức \(2x^2+2mx-2m\) có 2 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow\Delta'=m^2+4m>0\) (1). Với điều kiện (1), các điểm cực trị của hàm số là \(x_{1,2}=\dfrac{-m\pm\sqrt{m^2+4m}}{2}.\)
Ta có nhận xét: giá trị \(y=\frac{u}{v}\) tại các điểm cực trị là \(y_{ct,cđ}=\frac{u'}{v'}\) . Thật vậy, tại các điểm cực trị thì \(y'=\frac{v.u'-u.v'}{v^2}=0\), hay \(v.u'=u.v'\), hay \(v=\frac{u.v'}{u'}\), khi đó \(y=\frac{u}{v}=\frac{u'}{v'}\).
Vậy tại các điểm cực trị \(x_{1,2}\) thỏa mãn \(y=\frac{u\left(x\right)}{v\left(x\right)}=\frac{u'\left(x\right)}{v'\left(x\right)}=\frac{2x+2}{2}=x+1\), do đó các giá trị cực trị của hàm số là \(y_{1,2}=x_{1,2}+1=\dfrac{-m+2\pm\sqrt{m^2+4m}}{2}\) . Ngoài ra, cũng chú ý rằng với hàm số phân thức bậc hai chia bậc nhất thì giá trị cực tiểu lớn hơn giá trị cực đại nên
\(y_{ct}=\dfrac{-m+2+\sqrt{m^2+4m}}{2},y_{cđ}=\dfrac{-m+2-\sqrt{m^2+4m}}{2}\) và \(y_{ct}-y_{cđ}=\sqrt{m^2+4m}.\)
Yêu cầu bài toán \(\Leftrightarrow\sqrt{m^2+4m}>\sqrt{5}\Leftrightarrow m^2+4m>5\) (thỏa mãn điều kiện (1))\(\Leftrightarrow m< -5;m>1.\)