Cho hàm số \(y=\frac{1}{3}mx^3-\left(m-1\right)x^2+3\left(m-2\right)x+1\).
Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) sao cho hàm số có hai điểm \(x_1;x_2\) thoả mãn điều kiện \(x_1+2x_2=1\)?
\(m=2\) hoặc \(m=\frac{2}{3}\). \(m=-2\) hoặc \(m=-\frac{2}{3}\). \(m=1\) hoặc \(m=\frac{3}{2}\). \(m=-1\) hoặc \(m=-\frac{3}{2}\). Hướng dẫn giải:\(y'=mx^2-2\left(m-1\right)x+3\left(m-2\right)\).
Yêu cầu bài toán sẽ được thực hiện khi và chỉ khi hệ phương trình (ẩn \(x_1,x_2\), tham số \(m\)) sau đây có nghiệm:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+2x_2=1\\x_1+x_2=\dfrac{2\left(m-1\right)}{m}\\x_1x_2=\dfrac{3\left(m-2\right)}{m}\end{matrix}\right.\)
Từ hai phương trình đầu suy ra \(x_2=\dfrac{-m+2}{m},x_1=\dfrac{3m-4}{m}\).
Hệ trên sẽ có nghiệm khi và chỉ khi các giá trị tìm được của \(x_1,x_2\) thỏa mãn phương trình thứ ba, tức là
\(\dfrac{\left(3m-4\right)\left(-m+2\right)}{m^2}=\dfrac{3\left(m-2\right)}{m}\Leftrightarrow m=2,m=\dfrac{2}{3}.\)