Cho hàm số \(y=\dfrac{x^2+2mx+2}{x+1}\). Đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu cách đều đường thẳng \(x+y+2=0\) khi
\(m=1\). \(m=2\). \(m=\dfrac{1}{2}\). \(m=\dfrac{3}{2}\). Hướng dẫn giải: \(y'=\dfrac{x^2+2x+2m-2}{\left(x+1\right)^2}=\dfrac{\left(x+1\right)^2+2m-3}{\left(x+1\right)^2}\). Để hàm số có điểm cực trị thì $y'=0$ có hai nghiệm phân biệt, suy ra \(3m-2< 0\), hay là \(m< \frac{2}{3}\). Khi đó hai điểm cực trị của hàm số có hoành độ là \(x_{1,2}=-1\pm\sqrt{-2m+3}\) . Ta có nhận xét, tại các điểm cực trị của hàm \(y=\frac{u}{v}\) thì \(y'=\frac{v.u'-u.v'}{v^2}=0\), hay là \(v.u'=u.v'\Rightarrow v=\frac{u.v'}{u'}\), khi đó \(y_{ct,cđ}=\frac{u}{v}=\frac{u.u'}{u.v'}=\frac{u'}{v'}\). Ta có \(\frac{u'}{v'}=2x+2m\). Suy ra các điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho nằm trên đường thẳng \(y=2x+2m.\) Các điểm cực trị là \(A_{1,2}\left(x_{1,2};y_{1,2}=2x_{1,2}+2m\right)\). Do đó khoảng cách từ hai điểm này tới đường thẳng \(x+y+2=0\) là \(h_{1,2}=\dfrac{\left|x_{1,2}+y_{1,2}+2\right|}{\sqrt{2}}=\dfrac{\left|3x_{1,2}+2m+2\right|}{\sqrt{2}}\) Do đó \(h_1=h_2\Leftrightarrow\left|3x_1+2m+2\right|=\left|3x_2+2m+2\right|\Leftrightarrow3x_1+2m+2=-\left(3x_2+2m+2\right)\) (do \(x_1\ne x_2\))\(\Leftrightarrow3\left(x_1+x_2\right)=-\left(4m+4\right)\Leftrightarrow3.\left(-2\right)=-\left(4m+4\right)\Leftrightarrow m=\dfrac{1}{2}.\)