Cho hàm số \(y=\dfrac{x+2}{x^2-4x+m}\) có đồ thị là (C). Mệnh đề nào dưới đây sai?
(C) có một tiệm cận ngang, hai tiệm cận đứng nếu m < 4. (C) có một tiệm cận ngang là trục hoành, một tiệm cận đứng nếu m = 4. (C) có một tiệm cận ngang, hai tiệm cận đứng với mọi m. (C) chỉ có một tiệm cận ngang nếu m > 4. Hướng dẫn giải: Bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu nên \(\lim\limits_{x\rightarrow\infty}y=0\Rightarrow y=0\) là tiệm cận ngang. Tử số là nhị thức bậc nhất có 1 nghiệm duy nhất \(x=-2\), mẫu số là tam thức bậc hai \(v\left(x\right)=x^2-4x+m\) có \(\Delta'=4-m,\)\(v\left(-2\right)=12+m.\) Do đó: - Nếu \(m>4\) thì \(\Delta'< 0\Rightarrow v\left(x\right)\ne0,\forall x\Rightarrow\)đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng. - Nếu \(m=4\) thì \(v\left(x\right)\) có nghiệm kép \(x=2\) và \(y=\dfrac{x+2}{\left(x-2\right)^2}\Rightarrow\lim\limits_{x\rightarrow2}y=\infty,\) đồ thị có một tiệm cận đứng \(x=2.\) - Nếu \(m=12\) thì \(y=\dfrac{x+2}{x^2-4x+12}=\dfrac{x+2}{\left(x+2\right)\left(x-6\right)}=\dfrac{1}{x-6},\left(x\in\mathbb{R}\backslash\left\{-2;6\right\}\right)\) , đồ thị có 1 tiệm cận đứng \(x=6.\) - Nếu \(m>4\) và khác \(12\) thì \(v\left(x\right)\) có 2 nghiệm phân biệt khác \(-2\), đồ thị có 2 tiệm cận đứng.