Cho hàm số \(y=\dfrac{x-1}{x+2}\) có đồ thị (C). Gọi \(I\) là giao điểm của hai tiệm cận của (C). Trên (C) lấy hai điểm A và B sao cho tam giác ABI là tam giác đều. Đoạn thẳng AB có độ dài bằng
\(2\). \(\sqrt{6}\). \(2\sqrt{3}\). \(2\sqrt{2}\). Hướng dẫn giải:Hai đường tiệm cận của đồ thị là \(y=1\) và \(x=-2\) Vậy \(I\left(-2;1\right)\).
Xét hai điểm thuộc đồ thị \(A\left(a;\dfrac{a-1}{a+2}\right);B\left(b;\dfrac{b-1}{b+2}\right)\)
Theo bài ra ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}IA=IB\\AB=IB\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a+2\right)^2+\left(\dfrac{a-1}{a+2}-1\right)^2=\left(b+2\right)^2+\left(\dfrac{b-1}{b+2}\right)^2\\\left(b-a\right)^2+\left(\dfrac{b-1}{b+2}-\dfrac{a-1}{a+2}\right)^2=\left(b+2\right)^2+\left(\dfrac{b-1}{b+2}\right)^2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a,b\Rightarrow AB=2\sqrt{3}\)