Cho hàm \(f\left(x\right)\) thỏa mãn điều kiện \(f'\left(x\right)=2+\cos\left(2x\right)\) và \(f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=2\pi\). Khẳng định nào sau đây sai?
\(f\left(x\right)=2x+\dfrac{1}{2}\sin2x+\pi\). \(f\left(x\right)=2x-\sin2x+\pi\). \(f\left(0\right)=\pi\). \(f\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)=0\). Hướng dẫn giải:Dễ thấy \(f\left(x\right)=2x+\dfrac{1}{2}\sin2x+C\) thỏa mãn điều kiện \(f'\left(x\right)=2+\cos\left(2x\right)\).
Điều kiện \(f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=2\pi\Leftrightarrow\) \(2.\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{1}{2}\sin\left(2\dfrac{\pi}{2}\right)+C=2\pi\Leftrightarrow C=\pi\Leftrightarrow f\left(x\right)=2x+\dfrac{1}{2}\sin2x+\pi\).
Vậy khẳng định \(f\left(x\right)=2x-\sin2x+\pi\) là sai, còn các khẳng định khác đều đúng (\(f\left(0\right)=\pi\), \(f\left(-\frac{\pi}{2}\right)=0\)).