Cho \(F\left( x \right) = \frac{1}{{2{x^2}}} \) là một nguyên hàm của hàm số \(\frac{{f\left( x \right)}}{x} \). Nguyên hàm của hàm số \(f'\left( x \right)\ln {\rm{x}} \) là
\(\int {f'\left( x \right)\ln {\rm{xdx = }}\frac{{\ln {\rm{x}}}}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^2}}} + C}\). \( \int {f'\left( x \right)\ln {\rm{xdx = - }}\left( {\frac{{\ln {\rm{x}}}}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) + C} \). \( \int {f'\left( x \right)\ln {\rm{xdx = }}\frac{{\ln {\rm{x}}}}{{{x^2}}} + \frac{1}{{2{x^2}}} + C}\). \(\int {f'\left( x \right)\ln {\rm{xdx = - }}\left( {\frac{{\ln {\rm{x}}}}{{{x^2}}} + \frac{1}{{2{x^2}}}} \right) + C}\) . Hướng dẫn giải:\(\begin{array}{l} F'(x) = \frac{{ - 1}}{{{x^3}}}\\ \Rightarrow f(x) = \frac{{ - 1}}{{{x^2}}}\\ I = \int {f'(x)\ln xdx} \end{array} \)
Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\ln x = u}\\ {f'(x)dx = vdv} \end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {du = \frac{1}{x}dx}\\ {v = f(x) = - \frac{1}{{{x^2}}}} \end{array}} \right.} \right. \)
\( \Rightarrow I = \int {f'(x)\ln xdx = \frac{{ - \ln x}}{{{x^2}}} - \int {\frac{{ - 1}}{{{x^3}}}dx = - \frac{{\ln x}}{{{x^2}}} - \frac{1}{{2{x^2}}}} } \).