Cho biết \(F\left(x\right)=\dfrac{1}{2x^2}\) là một nguyên hàm của hàm số \(\dfrac{f\left(x\right)}{x}.\) Họ nguyên hàm của hàm số \(f'\left(x\right)\ln x\) là
\(\dfrac{\ln x}{x^2}+\dfrac{1}{x^2}+C\). \(-\dfrac{\ln x}{x^2}-\dfrac{1}{x^2}+C\). \(\dfrac{\ln x}{x^2}+\dfrac{1}{2x^2}+C\). \(-\dfrac{\ln x}{x^2}-\dfrac{1}{2x^2}+C\). Hướng dẫn giải:Từ giả thiết \(F\left(x\right)=\dfrac{1}{2x^2}\) là một nguyên hàm của hàm số \(\dfrac{f\left(x\right)}{x}.\) suy ra \(\dfrac{f\left(x\right)}{x}=F'\left(x\right)=\left(\dfrac{1}{2x^2}\right)'=-\dfrac{1}{x^3}\Rightarrow f\left(x\right)=-\dfrac{1}{x^2}.\)
Áp dụng công thức nguyên hàm từng phần ta có \(\int f'\left(x\right)\ln x\text{dx}=f\left(x\right)\ln x-\int\left(\ln x\right)'f\left(x\right)\text{dx}=-\dfrac{1}{x^2}.\ln x-\int\dfrac{1}{x}.\left(-\dfrac{1}{x^2}\right)\text{dx}=-\dfrac{\ln x}{x^2}+\int x^{-3}\text{dx}\)\(=-\dfrac{\ln x}{x^2}+\dfrac{x^{-2}}{-2}+C=-\dfrac{\ln x}{x^2}-\dfrac{1}{2x^2}+C.\)