Câu 42 Mã đề 104 Thi THPTQG 2017
Cho \(F\left(x\right)=\frac{1}{2x^2}\) là một nguyên hàm của hàm số \(\frac{f\left(x\right)}{x}.\) Họ nguyên hàm của hàm số \(f'\left(x\right)\ln x\) là
\(-\left(\frac{\ln x}{x^2}+\frac{1}{2x^2}\right)+C\). \(-\left(\frac{\ln x}{x^2}+\frac{1}{x^2}\right)+C\). \(\frac{\ln x}{x^2}+\frac{1}{x^2}+C\). \(\frac{\ln x}{x^2}+\frac{1}{2x^2}+C\). Hướng dẫn giải:Vì \(f'\left(x\right)\text{d}x=\text{d}f\left(x\right)\) nên ta có \(\int f'\left(x\right)\ln x\text{d}x=\int\ln x\text{d}f\left(x\right)=f\left(x\right)\ln x-\int f\left(x\right)\text{d}\ln x=f\left(x\right)\ln x-\int\frac{f\left(x\right)}{x}\text{d}x\) (1)
Từ giả thiết suy ra \(\int\frac{f\left(x\right)}{x}\text{d}x=\frac{1}{2x^2}+C\) nên thế vào (1) ta được \(\int f'\left(x\right)e^{2x}\text{d}x=f\left(x\right)\ln x-\frac{1}{2x^2}+C\) (2)
Lại vì \(F\left(x\right)=\frac{1}{2x^2}\) là một nguyên hàm của hàm số \(\frac{f\left(x\right)}{x}\) nên \(\left(\frac{1}{2x^2}\right)'=F'\left(x\right)=\frac{f\left(x\right)}{x}\Rightarrow f\left(x\right)=x.\left(-x^{-3}\right)=-\frac{1}{x^2}\), thế vào (2) ta có \(\int f'\left(x\right)e^{2x}\text{d}x=-\frac{\ln x}{x^2}-\frac{1}{2x^2}+C\)\(=-\left(\frac{\ln x}{x^2}+\frac{1}{2x^2}\right)+C\).