Câu 40 Mã đề 102 Thi THPTQG 2017
Cho \(F\left(x\right)=\left(x-1\right)e^x\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left(x\right)e^{2x}.\) Họ nguyên hàm của hàm số \(f'\left(x\right)e^{2x}\) là
\(f\left(4-2x\right)e^x+C\). \(f\frac{2-x}{2}e^x+C\). \(\left(2-x\right)e^x+C\). \(\left(x-2\right)e^x+C\). Hướng dẫn giải:Vì \(f'\left(x\right)\text{d}x=\text{d}f\left(x\right)\) nên ta có \(\int f'\left(x\right)e^{2x}\text{d}x=\int e^{2x}\text{d}f\left(x\right)=f\left(x\right)e^{2x}-\int f\left(x\right)\text{d}e^{2x}=f\left(x\right)e^{2x}-2\int f\left(x\right)e^{2x}\text{d}x\)(1)
Từ giả thiết suy ra \(\int f\left(x\right)e^{2x}\text{d}x=\left(x-1\right)e^x+C\) nên thế vào (1) ta được \(\int f'\left(x\right)e^{2x}\text{d}x=f\left(x\right)e^{2x}-2\left(x-1\right)e^x+C\) (2)
Lại vì \(F\left(x\right)=\left(x-1\right)e^x\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left(x\right)e^{2x}\) nên \(\left(\left(x-1\right)e^x\right)'=F'\left(x\right)=f\left(x\right)e^{2x}\Rightarrow e^x+\left(x-1\right)e^x=f\left(x\right)e^{2x}\Rightarrow f\left(x\right)e^{2x}=xe^x\),
thế vào (2) ta có \(\int f'\left(x\right)e^{2x}\text{d}x=xe^x-2\left(x-1\right)e^x+C=\left(2-x\right)e^x+C\).