Cho \(F\left(x\right)=x^2\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left(x\right)e^{2x}.\) Họ nguyên hàm của hàm số \(f'\left(x\right)e^{2x}\) là
\(-x^2+2x+C\).\(-x^2+x+C\).\(2x^2-2x+C\).\(-2x^2+2x+C\).Hướng dẫn giải:Vì \(f'\left(x\right)\text{d}x=\text{d}f\left(x\right)\) nên ta có \(\int f'\left(x\right)e^{2x}\text{d}x=\int e^{2x}\text{d}f\left(x\right)=f\left(x\right)e^{2x}-\int f\left(x\right)\text{d}e^{2x}=f\left(x\right)e^{2x}-2\int f\left(x\right)e^{2x}\text{d}x\)(1)
Từ giả thiết suy ra \(\int f\left(x\right)e^{2x}\text{d}x=x^2+C\) nên thế vào (1) ta được \(\int f'\left(x\right)e^{2x}\text{d}x=f\left(x\right)e^{2x}-2x^2+C\) (2)
Lại vì \(F\left(x\right)=x^2\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left(x\right)e^{2x}\) nên \(\left(x^2\right)'=F'\left(x\right)=f\left(x\right)e^{2x}\Rightarrow2x=f\left(x\right)e^{2x}\), thế vào (2) ta có \(\int f'\left(x\right)e^{2x}\text{d}x=2x-2x^2+C\).