Biết \(\int\limits^e_1\frac{\sqrt{1+3\ln x}\ln x}{x}dx=\frac{a}{b}\), trong đó a, b là hai số nguyên dương và \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Khẳng định nào sai ?
\(a-b=-19\) \(\frac{a}{116}+\frac{b}{135}=2\) \(135a=116b\) \(a^2+b^2=1\) Hướng dẫn giải:Đặt \(t=\sqrt{1+3\ln x}\)
=> \(t^2=1+3\ln x\) ; \(\ln x=\frac{t^2-1}{3}\)
=> \(2t\text{d}t=\frac{3\text{d}x}{x}\)
Đổi cận: \(x|^e_1\Rightarrow t|^2_1\)
Vậy ta có:
\(\int\limits^e_1\frac{\sqrt{1+3\ln x}\ln x}{x}dx=\frac{1}{3}\int\limits^e_1\sqrt{1+3\ln x}.\ln x\frac{3\text{d}x}{x}\)
\(=\frac{1}{3}\int\limits^2_1t.\frac{t^2-1}{3}2t\text{d}t\)
\(=\frac{2}{9}\int\limits^2_1\left(t^4-t^2\right)\text{d}t\)
\(=\frac{2}{9}\left(\frac{t^5}{5}-\frac{t^3}{3}\right)|^2_1=\frac{2}{9}\left[\frac{32}{5}-\frac{8}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{3}\right]=\frac{2}{9}\left(\frac{31}{5}-\frac{7}{3}\right)\)
\(=\frac{2}{9}.\frac{93-35}{15}=\frac{2}{9}.\frac{58}{15}=\frac{116}{135}\)
=> a = 116, b = 135