Nội dung lý thuyết
Các phiên bản khácCho \(f\left(x\right)\) là hàm số liên tục trên đoạn \(\left[a;b\right]\). Giả sử \(F\left(x\right)\) là một nguyên hàm của \(f\left(x\right)\) trên đoạn \(\left[a;b\right]\).
Hiệu số \(F\left(b\right)-F\left(a\right)\) được gọi là tích phân từ \(a\) đến \(b\) (hay tích phân xác định trên đoạn \(\left[a;b\right]\)) của hàm số \(f\left(x\right)\), kí hiệu là: \(\int_a^bf\left(x\right)dx\).
Ta còn dùng kí hiệu \(F\left(x\right)|^b_a\) để chỉ hiệu số \(F\left(b\right)-F\left(a\right)\).
Vậy \(\int_a^bf\left(x\right)\text{dx}=F\left(x\right)|^b_a=F\left(b\right)-F\left(a\right)\)
Ta gọi \(\int\limits^b_a\) là dấu tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, \(f\left(x\right)dx\) là biểu thức dưới dấu tích phân và \(f\left(x\right)\) là hàm số dưới dấu tích phân.
Chú ý: Trong trường hợp \(a=b\) hoặc \(a>b\), ta có quy ước:
\(\int_a^af\left(x\right)dx=0;\int_a^bf\left(x\right)dx=-\int_b^af\left(x\right)dx\)
Ví dụ 1:
a) \(\int_1^22xdx=x^2|^2_1=2^2-1^2=4-1=3\) ;
b) \(\int_1^e\dfrac{1}{t}\text{dt}=\ln t|^e_1=\ln e-\ln1=1-0=1\).
Nhận xét:
a) Tích phân của hàm số \(f\) từ \(a\) đến \(b\) có thể kí hiệu bởi \(\int_a^bf\left(x\right)dx\) hay \(\int_a^bf\left(t\right)dt\). Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào hàm số \(f\) và các cận \(a\), \(b\) mà không phụ thuộc vào biến số \(x,t\).
b) Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số \(f\left(x\right)\) không âm và liên tục trên đoạn \(\left[a;b\right]\) thì tích phân \(\int_a^bf\left(x\right)dx\) là diện tích \(S\) của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số \(f\left(x\right)\), trục \(Ox\), hai đường thẳng \(x=a,x=b\).
Vậy \(S=\int_a^bf\left(x\right)dx\).
- Tính chất 1:
\(\int_a^bk.f\left(x\right)\text{ }dx=k.\int_a^bf\left(x\right)dx\) (với k là hằng số)
- Tính chất 2:
\(\int\limits^b_a\left[f\left(x\right)\pm g\left(x\right)\right]\text{ }dx=\int\limits^b_af\left(x\right)\text{dx}\pm\int\limits^b_ag\left(x\right)\text{ }dx\)
Ví dụ 2: Tính \(\int_1^4\left(x^2+3\sqrt{x}\right)dx\).
Giải:
Ta có: \(\int_1^4\left(x^2+3\sqrt{x}\right)dx=\int_1^4x^2dx+3\int_1^4x^{\dfrac{1}{2}}dx\)
\(=\left(\dfrac{x^3}{3}\right)|_1^4+3\left(\dfrac{2}{3}x^{\dfrac{3}{2}}\right)|^4_1=\dfrac{4^3-1}{3}+2\left(2^3-1\right)=35\)
- Tính chất 3:
\(\int\limits^b_af\left(x\right)\text{dx}=\int\limits^c_af\left(x\right)\text{dx}+\int\limits^b_cf\left(x\right)\text{dx}\) (\(a< c< b\))
Ví dụ 3: Tính \(\int_0^{2\pi}\sqrt{1-\cos2x}dx\).
Giải:
Ta có: \(\int_0^{2\pi}\sqrt{1-\cos2x}dx=\int_0^{2\pi}\sqrt{\sin^2x}dx=\int_0^{2\pi}\left|\sin x\right|dx\)
Vì \(\left|\sin x\right|=\left\{{}\begin{matrix}\sin x\left(0\le x\le\pi\right)\\-\sin x\left(\pi\le x\le2\pi\right)\end{matrix}\right.\)
nên \(\int_0^{2\pi}\sqrt{1-\cos2x}dx=\sqrt{2}\left(\int_0^{\pi}\left|\sin x\right|dx+\int_{\pi}^{2\pi}\left|\sin x\right|dx\right)\)
\(=\sqrt{2}\left(\int_0^{\pi}\sin xdx-\int_{\pi}^{2\pi}\sin xdx\right)\)
\(=\sqrt{2}\left[\left(-\cos x\right)|^{\pi}_0+\left(\cos x\right)|^{2\pi}_{\pi}\right]=4\sqrt{2}\)
Cho hàm số \(f\left(x\right)\) trên đoạn \(\left[a;b\right]\). Giả sử hàm số \(\varphi\left(t\right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[\alpha;\beta\right]\)sao cho \(\varphi\left(\alpha\right)=a,\varphi\left(\beta\right)=b\) và \(a\le\varphi\left(t\right)\le b\) với mọi \(t\in\left[\alpha;\beta\right]\). Khi đó
\(\int_a^bf\left(x\right)dx=\int_{\alpha}^{\beta}f(\varphi\left(t\right))\varphi'\left(t\right)dt\)
Ví dụ 4: Tính \(\int_0^1\dfrac{1}{1+x^2}dx\).
Giải:
Đặt \(x=\tan t\), \(-\dfrac{\pi}{2}< t< \dfrac{\pi}{2}\). Ta có \(x'\left(t\right)=\dfrac{1}{\cos^2t}\)
Khi \(x=0\) thì \(t=0\), khi \(x=1\) thì \(t=\dfrac{\pi}{4}\)
Do đó \(\int_0^1\dfrac{1}{1+x^2}dx=\int_0^{\dfrac{\pi}{4}}\dfrac{1}{1+\tan^2t}.\dfrac{dt}{\cos^2t}=\int_0^{\dfrac{\pi}{4}}dt=\dfrac{\pi}{4}\).
Ví dụ 5: Tính \(\int_0^1\dfrac{x}{\left(1+x^2\right)^3}dx\).
Giải:
Đặt \(u=1+x^2\), ta có \(u'=2x,u\left(0\right)=1,u\left(1\right)=2\) nên
\(\int_0^1\dfrac{x}{\left(1+x^2\right)^3}dx=\dfrac{1}{2}\int_1^2\dfrac{1}{u^3}dx=-\dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{u^2}|^2_1=-\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{2^2}-1\right)=\dfrac{3}{16}\)
Nếu \(u=u\left(x\right)\) và \(v=v\left(x\right)\) là hai hàm số liên tục trên đoạn \(\left[a;b\right]\) thì
\(\int_a^bu\left(x\right)v'\left(x\right)dx=\left(u\left(x\right)v\left(x\right)\right)|^b_a-\int_a^bu'\left(x\right)v\left(x\right)dx\)
hay \(\int_a^budv=uv|^b_a-\int_a^bvdu\).
Ví dụ 6: Tính \(\int_0^{\dfrac{\pi}{2}}x\sin xdx\).
Giải:
Đặt \(u=x\) và \(dv=\sin xdx\) , ta có \(du=dx\) và \(v=-\cos x\)
Do đó: \(\int_0^{\dfrac{\pi}{2}}x\sin xdx=\left(-x\cos x\right)|^{\dfrac{\pi}{2}}_0+\int_0^{\dfrac{\pi}{2}}\cos xdx\)
\(=\left(-x\cos x\right)|^{\dfrac{\pi}{2}}_0+\left(\sin x\right)|^{\dfrac{\pi}{2}}_0=0+1=1\).