Bài 2: Giới hạn của hàm số

Nội dung lý thuyết

Các phiên bản khác

I. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM

1. Định nghĩa

Cho khoảng \(K\) chứa điểm \(x_0\) và hàm số \(y=f\left(x\right)\) xác định trên \(K\) hoặc trên \(K\backslash\left\{x_0\right\}\).

Ta nói hàm số \(y=f\left(x\right)\) có giới hạn là số \(L\) khi \(x\) dần tới \(x_0\) nếu với dãy số \(\left(x_n\right)\) bất kì, \(x_n\in K\backslash\left\{x_0\right\}\) và \(x_n\rightarrow x_0\), ta có \(f\left(x_n\right)\rightarrow L\).

Kí hiệu: \(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f\left(x\right)=L\) hay \(f\left(x\right)\rightarrow L\) khi \(x\rightarrow x_0\).

Ví dụ 1: Cho hàm số \(f\left(x\right)=\dfrac{x^2-4}{x+2}\). Chứng minh rằng \(\lim\limits_{x\rightarrow-2}f\left(x\right)=-4\).

Giải:

Hàm số đã cho xác định trên \(R\backslash\left\{-2\right\}\)

Giả sử \(\left(x_n\right)\) là một dãy số bất kì thoả mãn \(x_n\ne-2\) và \(x_n\rightarrow-2\) khi \(n\rightarrow+\infty\).

Ta có:

\(\lim\limits f\left(x_n\right)=\lim\limits\dfrac{x_n^2-4}{x_n+2}=\lim\limits\dfrac{\left(x_n-2\right)\left(x_n+2\right)}{x_n+2}=\lim\limits\left(x_n-2\right)=-4\)

Do đó \(\lim\limits_{x\rightarrow-2}f\left(x\right)=-4\).

Lưu ý rằng, mặc dù \(f\left(x\right)\) không xác định tại \(x=-2\), nhưng hàm số lại có giới hạn là \(-4\) khi \(x\rightarrow-2\).

Nhận xét: \(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}x=x_0\)  ;  \(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}c=c\), với \(c\) là hằng số.

2. Định lí về giới hạn hữu hạn

a) Giả sử \(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f\left(x\right)=L\) và \(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}g\left(x\right)=M\). Khi đó:

     \(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]=L+M\) ;

     \(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]=L-M\) ;

     \(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\left[f\left(x\right).g\left(x\right)\right]=L.M\) ;

     \(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\dfrac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\dfrac{L}{M}\) (nếu \(M\ne0\)).

b) Nếu \(f\left(x\right)\ge0\) và \(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f\left(x\right)=L\), thì

     \(L\ge0\) và \(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\sqrt{f\left(x\right)}=\sqrt{L}\).

(Dấu của \(f\left(x\right)\) được xét trên khoảng đang tìm giới hạn, với \(x\ne x_0\))

Ví dụ 2: Cho hàm số \(f\left(x\right)=\dfrac{x^2+1}{2\sqrt{x}}\). Tìm \(\lim\limits_{x\rightarrow3}f\left(x\right)\).

Giải:

\(\lim\limits_{x\rightarrow3}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow3}\dfrac{x^2+1}{2\sqrt{x}}=\dfrac{\lim\limits_{x\rightarrow3}(x^2+1)}{\lim\limits_{x\rightarrow3}2\sqrt{x}}\)

               \(=\dfrac{\lim\limits_{x\rightarrow3}x^2+\lim\limits_{x\rightarrow3}1}{\lim\limits_{x\rightarrow3}2.\lim\limits_{x\rightarrow3}\sqrt{x}}=\dfrac{\lim\limits_{x\rightarrow3}x.\lim\limits_{x\rightarrow3}x+\lim\limits_{x\rightarrow3}1}{\lim\limits_{x\rightarrow3}2.\sqrt{\lim\limits_{x\rightarrow3}x}}\)

               \(=\dfrac{3.3+1}{2.\sqrt{3}}=\dfrac{5}{\sqrt{3}}\).

Vậy \(\lim\limits_{x\rightarrow3}f\left(x\right)=\dfrac{5}{\sqrt{3}}\).

Ví dụ 3: Tính \(\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{x^2+x-2}{x-1}\).

Giải:

Vì \(\left(x-1\right)\rightarrow0\) khi \(x\rightarrow1\) nên ta chưa thể áp dụng định lí trên.

Như với \(x\ne1\) ta có \(\dfrac{x^2+x-2}{x-1}=\dfrac{\left(x-1\right)\left(x+2\right)}{x-1}=x+2\)

Do đó \(\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{x^2+x-2}{x-1}\)\(=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{\left(x-1\right)\left(x+2\right)}{x-1}=\lim\limits_{x\rightarrow1}\left(x+2\right)=3\).

Vậy \(\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{x^2+x-2}{x-1}=3\).

 

@2073845@

3. Giới hạn một bên

- Định nghĩa:

Cho hàm số \(y=f\left(x\right)\) xác định trên khoảng \(\left(x_0;b\right)\).

Số \(L\) được gọi là giới hạn bên phải của hàm số \(y=f\left(x\right)\) khi \(x\rightarrow x_0\) nếu với dãy số \(\left(x_n\right)\) bất kì, \(x_0< x_n< b\) và \(x_n\rightarrow x_0\), ta có \(f\left(x_n\right)\rightarrow L\).

Kí hiệu: \(\lim\limits_{x\rightarrow x_0^+}f\left(x\right)=L\).

Cho hàm số \(y=f\left(x\right)\) xác định trên khoảng \(\left(a;x_0\right)\).

Số \(L\) được gọi là giới hạn bên trái của hàm số \(y=f\left(x\right)\) khi \(x\rightarrow x_0\) nếu với dãy số \(\left(x_n\right)\) bất kì, \(a< x_n< x_0\) và \(x_n\rightarrow x_0\), ta có \(f\left(x_n\right)\rightarrow L\).

Kí hiệu: \(\lim\limits_{x\rightarrow x_0^-}f\left(x\right)=L\).

- Ta thừa nhận định lí:

\(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f\left(x\right)=L\) khi và chỉ khi \(\lim\limits_{x\rightarrow x_0^-}f\left(x\right)=\)\(\lim\limits_{x\rightarrow x_0^+}f\left(x\right)=L\).

Ví dụ 4: Cho hàm số \(f\left(x\right)=\left\{{}\begin{matrix}5x+2\left(x\ge1\right)\\x^2-3\left(x< 1\right)\end{matrix}\right.\).

             Tìm \(\lim\limits_{x\rightarrow1^-}f\left(x\right)\)\(\lim\limits_{x\rightarrow1^+}f\left(x\right)\) và \(\lim\limits_{x\rightarrow1}f\left(x\right)\) (nếu có).

Giải:

Ta có \(\lim\limits_{x\rightarrow1^-}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1^-}\left(x^2-3\right)=1^2-3=-2\)

          \(\lim\limits_{x\rightarrow1^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1^+}\left(5x+2\right)=5.1+2=7\)

Do \(\lim\limits_{x\rightarrow1^-}f\left(x\right)\)\(\ne\)\(\lim\limits_{x\rightarrow1^+}f\left(x\right)\) nên \(\lim\limits_{x\rightarrow1}f\left(x\right)\) không tồn tại.

II. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC

- Định nghĩa:

a) Cho hàm số \(y=f\left(x\right)\) được xác định trên khoảng \(\left(a;+\infty\right)\).

    Ta nói hàm số \(y=f\left(x\right)\) có giới hạn là số \(L\) khi \(x\rightarrow+\infty\) nếu với dãy số \(\left(x_n\right)\) bất kì, \(x_n>a\) và \(x_n\rightarrow+\infty\), ta có \(f\left(x_n\right)\rightarrow L\).

    Kí hiệu: \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=L\)  hay \(f\left(x\right)\rightarrow L\) khi \(x\rightarrow+\infty\).

b) Cho hàm số \(y=f\left(x\right)\) được xác định trên khoảng \(\left(-\infty;a\right)\).

    Ta nói hàm số \(y=f\left(x\right)\) có giới hạn là số \(L\) khi \(x\rightarrow-\infty\) nếu với dãy số \(\left(x_n\right)\) bất kì, \(x_n< a\) và \(x_n\rightarrow-\infty\), ta có \(f\left(x_n\right)\rightarrow L\).

    Kí hiệu: \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=L\) hay \(f\left(x\right)\rightarrow L\) khi \(x\rightarrow-\infty\).

Ví dụ 5: Cho hàm số \(f\left(x\right)=\dfrac{2x+3}{x-1}\). Tìm \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)\) và \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)\).

Giải:

Hàm số đã cho xác định trên \(\left(-\infty;1\right)\) và \(\left(1;+\infty\right)\).

Giả sử \(\left(x_n\right)\) là một dãy số bất kì, thoả mãn \(x_n< 1\) và \(x_n\rightarrow-\infty\).

Ta có \(\lim\limits f\left(x_n\right)=\lim\limits\dfrac{2x_n+3}{x_n-1}=\lim\limits\dfrac{2+\dfrac{3}{x_n}}{1-\dfrac{1}{x_n}}=2\)

Vậy \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{2x+3}{x-1}=2\).

Giả sử \(\left(x_n\right)\) là một dãy số bất kì, thoả mãn \(x_n>1\) và \(x_n\rightarrow+\infty\).

Ta có \(\lim\limits f\left(x_n\right)=\lim\limits\dfrac{2x_n+3}{x_n-1}=\lim\limits\dfrac{2+\dfrac{3}{x_n}}{1-\dfrac{1}{x_n}}=2\)

Vậy \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{2x+3}{x-1}=2\).

- Chú ý: 

    a) Với \(c,k\) là các hằng số và \(k\) nguyên dương, ta luôn có:

       \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}c=c\)  ;  \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}c=c\)  ;  \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{c}{x^k}=0\)  ;  \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{c}{x^k}=0\).

    b) Định lí về giới hạn hữu hạn của hàm số khi \(x\rightarrow x_0\) vẫn còn đúng khi \(x\rightarrow+\infty\) hoặc \(x\rightarrow-\infty\).

 

@2073313@

III. GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ

1. Giới hạn vô cực

Cho hàm số \(y=f\left(x\right)\) xác định trên khoảng \(\left(a;+\infty\right)\).

Ta nói hàm số \(y=f\left(x\right)\) có giới hạn là \(-\infty\) khi \(x\rightarrow+\infty\) nếu với dãy số \(\left(x_n\right)\) bất kì, \(x_n>a\) và \(x_n\rightarrow+\infty\),  ta nói \(f\left(x_n\right)\rightarrow-\infty\).

Kí hiệu: \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=-\infty\) hay \(f\left(x\right)\rightarrow-\infty\) khi \(x\rightarrow+\infty\).

Nhận xét: \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=+\infty\Leftrightarrow\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(-f\left(x\right)\right)=-\infty\).

2. Một vài giới hạn đặc biệt

    a) \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}x^k=+\infty\) với \(k\) nguyên dương ;

    b) \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}x^k=-\infty\) nếu \(k\) là số lẻ ;

    c) \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}x^k=+\infty\) nếu \(k\) là số chẵn.

3. Một vài quy tắc về giới hạn vô cực

a) Quy tắc tìm giới hạn của tích \(f\left(x\right).g\left(x\right)\)

Nếu \(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f\left(x\right)=L\ne0\)  và \(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}g\left(x\right)=+\infty\) (hoặc \(-\infty\)) thì \(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f\left(x\right).g\left(x\right)\) được tính dựa vào bảng:

\(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f\left(x\right)\)\(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}g\left(x\right)\)\(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f\left(x\right).g\left(x\right)\)
\(L>0\)\(+\infty\)\(+\infty\)
\(L>0\)\(-\infty\)\(-\infty\)
\(L< 0\)\(+\infty\)\(-\infty\)
\(L< 0\)\(-\infty\)\(+\infty\)

 b) Quy tắc tìm giới hạn của thương \(\dfrac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f\left(x\right)\)\(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}g\left(x\right)\)Dấu của \(g\left(x\right)\)\(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\dfrac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\)
\(L\)\(\pm\infty\)Tuỳ ý0
\(L>0\)0+\(+\infty\)
\(L>0\)0-\(-\infty\)
\(L< 0\)0+\(-\infty\)
\(L< 0\)0-\(+\infty\)

 

@2073243@