Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Nội dung lý thuyết

Các phiên bản khác

I. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên \(n\in N\)* là đúng với mọi \(n\) mà không thể thử trực tiếp được thì ta có thể làm như sau:

Bước 1 (bước cơ sở): Kiểm tra mệnh đề đúng với \(n=1\).

Bước 2 ( bước quy nạp): Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì \(n=k\ge1\) (ta gọi là giả thiết quy nạp) và chứng minh rằng nó cũng đúng với \(n=k+1\)

Đó là phương pháp quy nạp toán học, hay còn gọi tắt là phương pháp quy nạp.

II. VÍ DỤ ÁP DỤNG

Ví dụ 1: Chứng minh rằng với \(n\in N\)* thì

            \(1+3+5+...+\left(2n-1\right)=n^2\)    (1)

Giải:

Bước 1: Khi \(n=1\), vế trái chỉ có một số hạng là 1, vế phải bằng \(1^2\)

Vậy hệ thức (1) đúng.

Bước 2: Đặt vế trái bằng \(S_n\).

Giả sử đẳng thức đúng với \(n=k\ge1\), nghĩa là

             \(S_k=1+3+5+...+\left(2k-1\right)=k^2\) (giả thiết quy nạp).

Ta phải chứng minh rằng (1) cũng đúng với \(n=k+1\), tức là

            \(S_{k+1}=1+3+5+...+\left(2k-1\right)+\left[2\left(k+1\right)-1\right]=\left(k+1\right)^2\).

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có:

           \(S_{k+1}=S_k+\left[2\left(k+1\right)-1\right]=k^2+2k+1=\left(k+1\right)^2\)

Vậy hệ thức (1) đúng với mọi \(n\in N\)*.

Ví dụ 2: Chứng minh rằng với \(n\in N\)* thì \(n^3-n\) chia hết cho 3.

Giải:

Đặt \(A_n=n^3-n\)

Bước 1: Với \(n=1\), ta có \(A_1=0⋮3\)

Bước 2: Giả sử với \(n=k\ge1\) ta có 

              \(A_k=\left(k^3-k\right)⋮3\) (giả thiết quy nạp)

Ta chứng minh \(A_{k+1}⋮3\)

Thật vậy ta có:

            \(A_{k+1}=\left(k+1\right)^3-\left(k+1\right)=k^2+3k^2+3k+1-k-1\)

                     \(=\left(k^3-k\right)+3\left(k^2+k\right)\)

                     \(=A_k+3\left(k^2+k\right)\)

Theo giả thiết quy nạp ta có \(A_k⋮3\), hơn nữa \(3\left(k^2+k\right)⋮3\) 

Nên \(A_{k+1}⋮3\)

Vậy \(A_n=n^3-n\) chia hết cho 3 với mọi \(n\in N\)*.

Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề là đúng với mọi số tự nhiên \(n\ge p\) (\(p\) là một số tự nhiên) thì:

     - Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với \(n=p\)

     - Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên bất kì \(n=k\ge p\) và ta phải chứng minh rằng mệnh đề cũng đúng với \(n=k+1\).

Ví dụ 3: Chứng minh rằng với \(n\in N\)*, ta có đẳng thức :

              \(2+5+8+...+3n-1=\dfrac{n\left(3n+1\right)}{2}\)   (2)

Giải:

Bước 1: Với \(n=1\), vế trái chỉ có một số hạng là 2, vế phải bằng \(\dfrac{1\left(3.1+1\right)}{2}=2\)

Vậy hệ thức đúng với \(n=1\).

Bước 2: Đặt vế trái bằng \(S_n\)

Giả sử đẳng thức (2) đúng với \(n=k\ge1\) tức là \(S_k=2+5+8+...+3k-1=\dfrac{k\left(3k+1\right)}{2}\) , ta phải chứng minh rằng đẳng thức cũng đúng với \(n=k+1\), nghĩa là phải chứng minh :

             \(S_{k+1}=2+5+8+...+\left(3\left(k+1\right)-1\right)=\dfrac{\left(k+1\right)\left(3\left(k+1\right)+1\right)}{2}\)

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có:

           \(S_{k+1}=S_k+3k+2=\dfrac{k\left(3k+1\right)}{2}+3k+2\)

                   \(=\dfrac{3k^2+k+6k+4}{2}=\dfrac{3\left(k^2+2k+1\right)+k+1}{2}=\dfrac{\left(k+1\right)\left(3\left(k+1\right)+1\right)}{2}\)

Vậy, theo nguyên lý quy nạp toán học, hệ thức trên đúng với mọi \(n\in N\)*.

 

@2048188@

Ví dụ 4: Chứng minh rằng với mọi \(n\in N\)* ta luôn có : \(n^3+3n^2+5n\) chia hết cho 3.

Giải:

Đặt \(S_n=n^3+3n^2+5n\)

Bước 1: Với \(n=1\) thì \(S_1=9\) chia hết cho 3.

Bước 2: Giả sử với \(n=k\ge1\) , ta có \(S_k=\left(k^3+3k^2+5k\right)\) chia hết cho 3

Ta phải chứng minh rằng \(S_{k+1}\) chia hết cho 3

Thật vậy:  \(S_{k+1}=\left(k+1\right)^3+3\left(k+1\right)^2+5\left(k+1\right)\)

                         \(=k^3+3k^2+3k+1+3k^2+6k+3+5k+5\)  

                         \(=k^3+3k^2+5k+3k^2+9k+9\)

hay \(S_{k+1}=S_k+3\left(k^2+3k+3\right)\)

Theo giả thiết quy nạp thì \(S_k\) chia hết cho 3, mặt khác \(3\left(k^2+3k+3\right)\) chia hết cho 3 nên \(S_{k+1}\) chia hết cho 3

Vậy với mọi \(n\in N\)* ta luôn có \(S_n=n^3+3n^2+5n\) chia hết cho 3.

 

@2048358@

Ví dụ 5: Cho tổng \(S_n=\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+...+\dfrac{1}{n\left(n+1\right)}\) với mọi \(n\in N\)*.

   a) Tính \(S_1,S_2,S_3\).

   b) Dự đoán công thức tính tổng \(S_n\) và chứng minh bằng quy nạp

Giải:

a) Ta có \(S_1=\dfrac{1}{1.2}=\dfrac{1}{2}\)  ;

              \(S_2=\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}=\dfrac{2}{3}\)  ;

             \(S_3=\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{3.4}=\dfrac{3}{4}\).

b) Từ câu a) ta dự đoán \(S_n=\dfrac{n}{n+1}\left(1\right)\)với mọi \(n\in N\)*

Ta sẽ chứng minh đẳng thức (1) bằng phương pháp quy nạp.

Khi \(n=1\), vế trái là \(S_1=\dfrac{1}{2}\), vế phải là \(\dfrac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2}\) vậy đẳng thức (1) đúng với \(n=1\).

Giả sử đẳng thức (1) đúng với \(n=k\ge1\), tức là \(S_k=\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+...+\dfrac{1}{k\left(k+1\right)}=\dfrac{k}{k+1}\)

Ta phải chứng minh nó cũng đúng khi \(n=k+1\), nghĩa là phải chứng minh \(S_{k+1}=\dfrac{k+1}{k+2}\)

Ta có \(S_{k+1}=S_k+\dfrac{1}{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}=\dfrac{k}{k+1}+\dfrac{1}{\left(k+2\right)\left(k+1\right)}=\dfrac{k^2+2k+1}{\left(k+2\right)\left(k+1\right)}=\dfrac{k+1}{k+2}\)

Tức là đẳng thức (1) cũng đúng với \(n=k+1\)

Vậy đẳng thức (1) đã được chứng minh.

 

@2047477@

 


Danh sách các phiên bản khác của bài học này. Xem hướng dẫn
Komorebi đã đóng góp một phiên bản khác cho bài học này (31 tháng 3 2021 lúc 13:33) 0 lượt thích