Violympic toán 8

Hỏi đáp

Câu 5 (Gửi bởi tth)
Trả lời
0

Viet Nam TTS 1996 - Những cách giải hay$?$

Cho $a,b,c$ là các số thực. Chứng minh rằng:

\[(a+b)^4 +(b+c)^4 +(c+a)^4 \geqq \frac{4}{7}(a^4+b^4+c^4)\]

Giải (cách của em)

Đặt $t=\frac{a+b}{2}$ và $f(a;b;c)=\text{VT-VP}$

Ta có: \[f(a;b;c) -f(t;t;c) = {\frac {3\, \left( a-b \right) ^{2}\Big[7\,{a}^{2}+10\,ab+7\,{b}^{2}+56\,c
\left( a+b+c \right) \Big]}{56}} \geqq 0\]

Ta có điều này là vì \[\sum\limits_{cyc} a(a+b+c) \geqq 0\] nên có thể giả sử $c(a+b+c) \geqq 0$

Sau cùng$,$ ta chứng minh \[f(t;t;tc) \geqq 0 \Leftarrow {\frac {2\, \left( 5\,{c}^{2}+14\,ct-{t}^{2} \right) ^{2}}{35}}+{
\frac {12\, \left( 2\,c+7\,t \right) ^{2}{t}^{2}}{35}} \geqq 0\]

Xong.

Em rất muốn xem những cách khác từ mọi người$?$

Gửi câu hỏi cho chủ đề này Hỏi đáp, trao đổi bài
Loading...

Tài trợ


Tính năng này đang được xây dựng...