Bài 9: Ứng dụng thực tế của tam giác đồng dạng

1. Đo gián tiếp chiều cao của vật

Giả sử cần phải xác định chiều cao của một toà nhà, một ngọn tháp hay một cái cây nào đó, ta có thể ứng dụng tam giác đồng dạng như sau:

a) Tiến hành đo đạc

- Đặt cọc \(AC\) thẳng đứng trên đó có gắn thước ngắm quay được quanh một cái chốt của cọc. 

- Điều khiển thước ngắm sao cho hướng thước đi qua đỉnh \(C'\) của cây (hoặc tháp), sau đó xác định giao điểm \(B\) của đường thẳng \(CC'\) với \(AA'\).

- Đo khoảng cách \(BA\) và \(BA'\).

b) Tính chiều cao của cây hoặc tháp

- Ta thấy rằng \(\Delta A'BC'\) đồng dạng với \(\Delta ABC\)  theo tỉ số đồng dạng \(k=\dfrac{A'B}{AB}\). Tỉ số này ta đã xác định được thông qua việc đo \(A'B\) và \(AB\).

- Từ đó suy ra chiều cao cây (hoặc tháp) là: \(A'C'=k.AC\) (\(AC\) là chiều cao của cọc)

Áp dụng thực tế:

- Giả sử chọn cọc \(AC\) cao \(1,5m\), ta đo được \(AB=1,25m\), \(A'B=4,2m\)

Ta có thể tính được chiều cao cây là: 

\(A'C'=k.AC=\dfrac{A'B}{AB}.AC=\dfrac{4,2}{1,25}.1,5=5,04\left(m\right)\)

- Giả sử chọn cọc \(AC\) cao \(2,0m\) đồng thời đo được \(AB=1,5m\), \(A'B=6,2m\)

Thì ta tính được chiều cao cây là:

\(A'C'=k.AC=\dfrac{A'B}{AB}.AC=\dfrac{6,2}{1,5}.2,0\approx8,27\left(m\right)\)

Ví dụ 1: Một người đo chiều cao của một cây nhờ chôn một cọc xuống đất theo phương thẳng đứng, cọc cao \(2,0m\) và được đặt cách xa cây \(15m\). Sau khi người ấy lùi ra xa cách cọc \(0,8m\) thì nhìn thấy đầu cọc và đỉnh cây cùng nằm trên một đường thẳng. Biết rằng khoảng cách từ mặt đất đến mắt người ấy là \(1,6m\). Hỏi chiều cao của cây là bao nhiêu mét?

Giải:

Vị trí, chiều cao của cây, cọc và người đo được mô tả bởi hình vẽ sau:

Trong đó: \(AC\) là chiều cao cọc 

                \(DE\) là khoảng cách từ mặt đất đến mắt người đo

                \(A'C'\) là chiều cao cây.

Ta có: \(A'C'\perp A'B\) , \(AC\perp A'B\) , \(DE\perp A'B\) \(\Rightarrow\) \(A'C'\)//\(AC\)//\(DE\)

Ta có: \(DE\)//\(AC\) nên \(\Delta DEB\) đồng dạng với \(\Delta ACB\) 

\(\Rightarrow\) \(\dfrac{DE}{AC}=\dfrac{DB}{AB}\) \(\Rightarrow\) \(\dfrac{DB}{AB}=\dfrac{1,6}{2}=\dfrac{4}{5}\) \(\Rightarrow\dfrac{DB}{DB+0,8}=\dfrac{4}{5}\)

Từ đó suy ra \(DB=3,2\left(m\right)\) và \(AB=3,2:\dfrac{4}{5}=4\left(m\right)\)

Có: \(AD+DB=AB\) \(\Rightarrow DB=AB-AD=4-0,8=3,2\left(m\right)\)

  và \(A'B=AA'+AB=15+4=19\left(m\right)\)

Lại có: \(AC\)//\(A'C'\) nên \(\Delta ABC\) đồng dạng với \(\Delta A'BC'\)

\(\Rightarrow\) \(\dfrac{AB}{A'B}=\dfrac{AC}{A'C'}\)

\(\Rightarrow A'C'=\dfrac{A'B.AC}{AB}=\dfrac{19.2}{4}=9,5\left(m\right)\)

Vậy chiều cao của cây là \(9,5m\).

2. Đo khoảng cách giữa hai địa điểm trong đó có một địa điểm không thể tới được

Giả sử cần đo khoảng cách giữa hai điểm \(A\) và \(B\) trong đó một điểm \(A\) bị ao hồ bao bọc không thể tới được:

a) Tiến hành đo đạc:

- Chọn một khoảnh đất bằng phẳng, vạch một đoạn thẳng \(BC\) rồi đo chiều dài của nó. Giả sử \(BC=a\).

- Dùng thước đo góc (giác kế) đo các góc: \(\widehat{ABC}=\alpha\) , \(\widehat{ACB}=\beta\)

b) Tính khoảng cách \(AB\):

- Vẽ trên giấy \(\Delta A'B'C'\) có \(B'C'=a'\), \(\widehat{A'B'C'}=\alpha\) , \(\widehat{A'C'B'}=\beta\)

- Khi đó \(\Delta A'B'C'\) đồng dạng với \(\Delta ABC\) theo tỉ số \(k=\dfrac{B'C'}{BC}=\dfrac{a'}{a}\)

- Suy ra \(\dfrac{A'B'}{AB}=\dfrac{a'}{a}\)

- Đo độ dài đoạn \(A'B'\) trên hình vẽ. Từ đó tính được khoảng cách \(AB=\dfrac{A'B'}{k}\)

Áp dụng hằng số:

- Giả sử \(a=100m\) , \(a'=4cm\). Ta có: \(k=\dfrac{4}{10000}=\dfrac{1}{2500}\)

Vậy nếu \(A'B'=3cm\) thì ta tính được \(AB=3:\dfrac{1}{2500}=3.2500=7500\left(cm\right)=75\left(m\right)\)

- Giả sử \(a=50m\) , \(a'=10cm\). Ta có: \(k=\dfrac{10}{5000}=\dfrac{1}{500}\) 

Vậy nếu \(A'B'=6,5cm\) thì ta tính được \(AB=6,5:\dfrac{1}{500}=6,5.500=3250\left(cm\right)=32,5\left(m\right)\)

Ghi chú:

- Khi đo góc ta dùng giác kế. Giác kế cho phép ta xác định độ lớn của một góc tuỳ ý. Có hai loại giác kế: Giác kế ngang và Giác kế đứng.

- Giác kế ngang dùng để đo góc trên mặt đất.

- Giác kế đứng dùng để đo góc theo phương thẳng đứng.

Bộ phận chính của một giác kế đứng là một thước đo góc có thể quay quanh trục \(O\) cắm vuông góc với cọc \(PQ\) đặt ở vị trí thẳng đứng. Ở hai đầu của thước ngắm có gắn 2 đinh \(A\) và \(B\). Tại \(O\) có treo một dây dọi \(OF\). Gọi \(E\) là vạch ứng với điểm ghi \(0^0\) trên thước đo góc (\(OE\) vuông góc với \(AB\) tại \(O\)). Khi đó góc tại bởi \(OF\) và \(OE\) bằng góc tạo bởi phương ngắm và phương nằm ngang (hai góc cùng phụ với góc thứ ba).