Tổng và hiệu của hai vectơ

TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ

1. Tổng của hai vectơ 

Định nghĩa : Cho hai vectơ \(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\). Lấy một điểm A tùy ý, vẽ \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b}\). Vectơ \(\overrightarrow{AC}\) được gọi là tổng của 2 vectơ  \(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\).. Ta kí hiệu tổng của 2  vectơ  \(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\). là  \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\). Vậy \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\)

a b a b a + b

Phép toán tìm tổng của hai vectơ còn được gọi là phép cộng vectơ

2. Quy tắc hình bình hành 

Phép cộng hai vectơ có thể minh họa bằng qui tắc hình bình hành như sau:

Nếu ABCD là hình bình hành thì \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}\)

ABCD

Trong Vật lý, hợp lực của 2 lực \(\overrightarrow{F_1}\) và \(\overrightarrow{F_2}\) là lực \(\overrightarrow{F}\) được xác định bằng quy tắc hình bình hành.

3. Tính chất của phép công các vectơ

Với 3 vectơ  \(\overrightarrow{a}\) ,  \(\overrightarrow{b}\)  ,  \(\overrightarrow{c}\)  tùy ý, ta có :

     \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\) (Tính chất giao hoán)

     \(\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+\left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)\) (Tính chất kết hợp)

       \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}\) (Tính chất của vectơ - không)

4. Hiệu của hai vectơ

a. Vectơ đối 

Cho vectơ \(\overrightarrow{a}\), vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với \(\overrightarrow{a}\) được gọi là vectơ đối của vectơ \(\overrightarrow{a}\), kí hiệu là \(-\overrightarrow{a}\).

Mỗi vectơ đều có vectơ đối, chẳng hạn vectơ đối của \(\overrightarrow{AB}\) là \(\overrightarrow{BA}\), nghĩa là \(-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BA}\)

Đặc biệt, vectơ đối của vectơ \(\overrightarrow{0}\) là vectơ \(\overrightarrow{0}\)

Ví dụ: Trong hình bình hành ABCD ở trên, vectơ đối của \(\overrightarrow{AB}\) là \(\overrightarrow{BA}\) hoặc \(\overrightarrow{CD}\).

b. Định nghĩa hiệu của hai vectơ

Cho hai vectơ \(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\), ta gọi hiệu của \(\overrightarrow{a}\)  trừ \(\overrightarrow{b}\) bằng tổng của vectơ \(\overrightarrow{a}\) với vectơ đối của vectơ \(\overrightarrow{b}\).

Như vậy : \(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}+\left(-\overrightarrow{b}\right)\).

Hình sau minh họa phép trừ hai vectơ:

a b -b a - b

5. Qui tắc tam giác

Với ba điểm A, B, C bất kì, theo định nghĩa phép cộng và phép trừ vectơ ta có:

A B C

\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\)  (Qui tắc 3 điểm: Cộng hai vectơ có điểm cuối vectơ này là điểm đầu vectơ kia thì loại bỏ điểm trung gian đó)

\(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}\)  (Qui tắc trừ hai vectơ có chung điểm đầu)

6. Áp dụng

a) Nếu I là trung điểm của AB thì \(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}\)

    (Vì \(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{II}=\overrightarrow{0}\) )

b) Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)

A B C G D E

Thật vậy: Lấy D là điểm đối xứng với G qua E, khi đó: BGCD là hình bình hành (vì hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường) và G là trung điểm của AD (vì GA = 2 GE = GD).

Ta có: \(\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{GD}\) (theo qui tắc hình bình hành)

Suy ra: \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}\)

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Các dạng toán về Vectơ có hướng dẫn giải

Hỏi đáp, trao đổi bài Gửi câu hỏi cho chủ đề này
Luyện trắc nghiệm Trao đổi bài

Tài trợ


Tính năng này đang được xây dựng...