Tính nguyên hàm - tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần

I. Dạng tổng quát

Tính tích phân \(I=\int\limits^b_au\left(x\right).v'\left(x\right)dx\)

Phương pháp.

• Đặt \(\begin{cases}u=u\left(x\right)\\dv=v'\left(x\right)dx\end{cases}\)\(\Rightarrow\begin{cases}du=u'\left(x\right)dx\\v=\int v'\left(x\right)dx\end{cases}\) Chọn \(C=0\)

• Khi đó \(I=uv|^b_avdu\)

Lưu ý. Trong tích phân từng phần ta thường gặp các trường hợp sau:

\(I=\int\left\{P\left(x\right);e^x\right\}dx,u=P\left(x\right)\)

\(I=\int\left\{P\left(x\right);\sin x,\cos x,\frac{1}{\cos^2x},\frac{1}{\sin^2x}\right\}dx:u=P\left(x\right)\)

\(I=\int\left\{P\left(x\right);\ln x\right\}dx;u=\ln x\)

\(I=\int\left\{e^x;\sin x,\cos x\right\}dx;u=ex\) hoặc u = sin x, cos x  

Công thức tích phân từng phân:

 \(\boxed{\displaystyle\int udv=uv-\int vdu;\int\limits_a^b udv=\left.uv\right|_a^b-\int\limits_a^b vdu} \)

Chú ý: \(\boxed{u=u(x)\Rightarrow du=u'(x)dx; dv=f(x)dx\Rightarrow v=\displaystyle\int f(x)dx}\)

II. Các dạng tính tích phân từng phần

1) Dạng 1: Tính tích phân của tích giữa hàm đa thức và hàm mũ

\(\displaystyle\int P(x)e^{ax+b}dx\Rightarrow \begin{cases} u=P(x)\\ dv=e^{ax+b}dx \end{cases}\)

Ví dụ 1: (Đồng Thọ-Tuyên Quang 2015)

Tính tích phân \(\displaystyle I=\int (x+2015)e^xdx\) và \(\displaystyle J=\int\limits_0^1 (x+2015)e^xdx\).

Lời giải

Đặt \(\begin{cases} u=x+2015\\ dv=e^xdx \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} du=dx\\ v=e^x \end{cases}\), Theo công thức tích phân từng phần thì

\(\displaystyle I=(x+2015)e^x-\int e^xdx=(x+2015)e^x-e^x+C=(x+2014)e^x+C\)

\(\displaystyle J=(x+2015)e^x\Big|_0^1-\int\limits_0^1 e^xdx=2016e-2015-e^x\Big|_0^1=2015e-2014\)

Ví dụ 2:  Tính tích phân \(\displaystyle I=\int \dfrac{x^2}{e^x}dx\) và \(\displaystyle J=\int\limits_0^1 \dfrac{x^2}{e^x}dx\).

Lời giải

Đặt \(\begin{cases} u=x^2\\ dv=e^{-x} \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} du=2xdx\\ v=-e^{-x} \end{cases}\). Theo công thức tích phân từng phần thì

\(\displaystyle I=-x^2e^{-x}+\underbrace{\int2xe^{-x}dx}_{I_1};\displaystyle J=-x^2e^{-x}\Big|_0^1+\underbrace{\int\limits_0^1 2xe^{-x}dx}_{J_1}=-e^{-1}+J_1\)

Đặt \(\begin{cases} u=2x\\ dv=e^{-x} \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} du=2dx\\ v=-e^{-x} \end{cases}\). Theo công thức tích phân từng phần thì

\(\displaystyle I_1=-2xe^{-x}+\int2e^{-x}dx=-(2x+2)e^{-x}+C;\\ \displaystyle J_1=-2xe^{-x}\Big|_0^1+\int\limits_0^12e^{-x}dx=-2e^{-1}-2e^{-x}\Big|_0^1=2-4e^{-1}\)

Vậy

\(I=-(x^2+2x+2)e^{-x}+C,J=2-5e^{-1}\)

2) Dạng 2: Tính tích phân của tích giữa hàm đa thức và hàm lượng giác

\(\displaystyle\int P(x). \left| \begin{array}{c} \sin \\ \cos \end{array}\right|(ax+b)dx\Rightarrow \begin{cases} u=P(x)\\ dv=\left|\begin{array}{c} \sin \\ \cos \end{array} \right|(ax+b)dx \end{cases}\)

Ví dụ 3: (Hồng Quang-Hải Dương 2015 L3)

Tính tích phân \(\displaystyle I=\int \cos x(x-2\sin x)dx\) và \(\displaystyle J=\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x(x-2\sin x)dx\).

Lời giải

Ta có

\(\displaystyle I=\underbrace{\int x\cos xdx}_{I_1}-\int \sin 2xdx=I_1+\dfrac{\cos2x}{2}+C_1\)

\(\displaystyle J=\underbrace{\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} x\cos xdx}_{J_1}-\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \sin 2xdx=J_1+\dfrac{\cos2x}{2}\Big|_0^{\frac{\pi}{2}}=J_1-1\)

Đặt \(\begin{cases} u=x\\ dv=\cos x \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} du=dx\\ v=\sin x \end{cases}\). Theo công thức tích phân từng phần thì

\(\displaystyle I_1=x\sin x-\int \sin xdx=x\sin x+\cos x+C_2\)

\(\displaystyle J_1=x\sin x\Big|_0^{\frac{\pi}{2}}-\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \sin xdx=\dfrac{\pi}{2}+\cos x\Big|_0^{\frac{\pi}{2}}=\dfrac{\pi}{2}-1\)

Vậy 

\(I=x\sin x+\cos x+\dfrac{\cos 2x}{2}+C,J=\dfrac{\pi}{2}-2\)

Ví dụ 4: Tính tích phân \(\displaystyle I=\int (x^2+1)\sin xdx\)\(\displaystyle J=\int\limits_0^\pi (x^2+1)\sin xdx\).

Lời giải

Đặt \(\begin{cases} u=x^2+1\\ dv=\sin xdx \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} du=2x\\ v=-\cos x \end{cases}\). Theo công thức tích phân từng phần thì

\(\displaystyle I=-(x^2+1)\cos x+\underbrace{\int2x\cos xdx}_{I_1};J=-(x^2+1)\cos x\Big|_0^\pi+\underbrace{\int\limits_0^\pi2x\cos xdx}_{J_1}=\pi^2+J_1\)

Đặt \(\begin{cases} u=2x\\ dv=\cos xdx \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} du=2dx\\ v=\sin x \end{cases}\). Theo công thức tích phân từng phần thì

\(\displaystyle I_1=2x\sin x-\int 2\sin xdx=2x\sin x+2\cos x+C\)

\(\displaystyle J_1=2x\sin x\Big|_0^\pi-\int\limits_0^\pi 2\sin xdx=2\cos x\Big|_0^\pi=-2\)

Vậy

\(I=-(x^2-1)\cos x+2x\sin x+C,J=\pi^2-2\)

3) Dạng 3: Tính tích phân của tích giữa hàm đa thức và hàm logarit

\(\displaystyle\int f(x)(\ln x)^n dx\Rightarrow \begin{cases} u=(\ln x)^n\\ dv=f(x)dx \end{cases}\)

Ví dụ 5: (Đồng Lộc-Hà Tĩnh 2015) 

Tính tích phân \(\displaystyle I=\int \left(e^{2x}+\ln(x+3)\right)dx\) và \(\displaystyle J=\int\limits_0^1 \left(e^{2x}+\ln(x+3)\right)dx\).

Lời giải

Ta có

\(\displaystyle I=\dfrac{e^{2x}}{2}+\underbrace{\int\ln(x+3)dx}_{I_1},J=\dfrac{e^{2x}}{2}\Big|_0^1+\underbrace{\int\limits_0^1\ln(x+3)dx}_{J_1}=\dfrac{e^2-1}{2}+J_1\)

Đặt \(\begin{cases} u=\ln(x+3)\\ dv=dx \end{cases}\Rightarrow\begin{cases} du=\dfrac{1}{x+3}dx\\ v=x \end{cases}\). Theo công thức tích phân từng phần thì

\(\displaystyle I_1=x\ln(x+3)-\int\dfrac{x}{x+3}dx=x\ln(x+3)-\int \left(1-\dfrac{3}{x+3}\right)dx=(x+3)\ln(x+3)-x+C\)

\(\displaystyle J_1=x\ln(x+3)\Big|_0^1-\int\limits_0^1\dfrac{x}{x+3}dx=\ln 4-\int\limits_0^1 \left(1-\dfrac{3}{x+3}\right)dx=\ln 4-\left(x-3\ln(x+3)\right)\Big|_0^1=4\ln 4-3\ln 3-1\)

Vậy

 \(I=\dfrac{e^{2x}}{2}+(x+3)\ln(x+3)-x+C,J=\dfrac{e^2-3}{2}+4\ln 4-3\ln 3\)

Ví dụ 6: (Đại học khối D-2007)

Tính tích phân \(\displaystyle I=\int x^3\ln^2 xdx\) và \(\displaystyle J=\int\limits_1^e x^3\ln^2 xdx\).

Lời giải

Đặt \(\begin{cases} u=\ln^2 x\\ dv=x^3dx \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} du=\dfrac{2\ln x}{x}\\ v=\dfrac{x^4}{4} \end{cases}\). Theo công thức tích phân từng phần thì

\(\displaystyle I=\dfrac{x^4\ln^2 x}{4}-\underbrace{\int\dfrac{x^3\ln x}{2}dx}_{I_1},J=\dfrac{x^4\ln^2 x}{4}\Big|_1^e-\underbrace{\int\limits_1^e\dfrac{x^3\ln x}{2}dx}_{J_1}=\dfrac{e^4}{4}-J_1\)

Đặt \(\begin{cases} u=\ln x\\ dv=\dfrac{x^3}{2} \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} du=\dfrac{1}{x}dx\\ v=\dfrac{x^4}{8} \end{cases}\). Theo công thức tích phân từng phần thì

\(\displaystyle I_1=\dfrac{x^4\ln x}{8}-\int \dfrac{x^3}{8}dx=\dfrac{x^4\ln x}{8}-\dfrac{x^4}{32}+C_1\)

\(\displaystyle J_1=\dfrac{x^4\ln x}{8}\Big|_1^e-\int\limits_1^e \dfrac{x^3}{8}dx=\dfrac{e^4}{8}-\dfrac{x^4}{32}\Big|_1^e=\dfrac{3e^4+1}{32}\)

Vậy

\(I=\dfrac{x^4\ln^2 x}{4}-\dfrac{x^4\ln x}{8}-\dfrac{x^4}{32}+C,J=\dfrac{5e^4-1}{32}\)

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Phương pháp tính tích phân từng phần

Các bài toán tích phân có nhiều cách giải

Hỏi đáp

Hỏi đáp, trao đổi bài Gửi câu hỏi cho chủ đề này
Luyện trắc nghiệm Trao đổi bài

Tài trợ


Tính năng này đang được xây dựng...