Bài 3: Tính chất đường phân giác của tam giác

Nội dung lý thuyết

Các phiên bản khác

1. Định lí

Định lí:

Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy.

GT

\(\Delta ABC\)

\(AD\) là tia phân giác góc \(\widehat{BAC}\) (\(D\in BC\))

KL\(\dfrac{DB}{DC}=\dfrac{AB}{AC}\)

Chứng minh định lí:

Qua \(B\) kẻ đường thẳng song song với \(AC\) cắt đường thẳng \(AD\) tại \(E\).

Ta có: \(\widehat{BAE}=\widehat{CAE}\) (do \(AD\) là tia phân giác góc \(\widehat{BAC}\))

Mặt khác: Do \(BE\)//\(AC\) \(\Rightarrow\widehat{BEA}=\widehat{CAE}\) (hai góc so le trong)

Suy ra \(\widehat{BAE}=\widehat{BEA}\) \(\Rightarrow\Delta BAE\) cân tại \(B\)

\(\Rightarrow BA=BE\)  (1)

Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét đối với tam giác \(DAC\), ta có: \(\dfrac{DB}{DC}=\dfrac{BE}{AC}\)  (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\dfrac{DB}{DC}=\dfrac{AB}{AC}\).

@58841@

Ví dụ 1: Xét tam giác \(ABC\) có \(AB=3cm\)\(AC=6cm\). Tia phân giác của góc \(A\) cắt cạnh \(BC\) tại \(D\). Tính tỉ số \(\dfrac{DB}{DC}\):

Giải:

Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác ta có: \(\dfrac{DB}{DC}=\dfrac{AB}{AC}\)

Lại có: \(AB=3cm\)\(AC=6cm\) \(\Rightarrow\) \(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}\)

Suy ra \(\dfrac{DB}{DC}=\dfrac{1}{2}\).

Ví dụ 2: Cho tam giác \(ABC\) có \(AB=4,5cm\)\(AC=6cm\)\(AD\) là tia phân giác góc \(A\). Giả sử \(BD=x\left(cm\right)\)\(CD=y\left(cm\right)\). Tính tỉ số \(\dfrac{x}{y}\)?

Giải:

Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác ta có: \(\dfrac{DB}{DC}=\dfrac{AB}{AC}\)

\(\Rightarrow\dfrac{x}{y}=\dfrac{4,5}{6}=\dfrac{3}{4}\).

Vậy \(\dfrac{x}{y}=\dfrac{3}{4}\).

Ví dụ 3: Cho tam giác \(ABC\) có \(AB=6cm\)\(AC=8cm\)\(BC=10cm\)\(AD\) là tia phân giác góc \(A\). Giả sử \(BD=x\left(cm\right)\)\(CD=y\left(cm\right)\). Tính \(x^2+y^2\)?

Giải:

Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác ta có: \(\dfrac{DB}{DC}=\dfrac{AB}{AC}\)

\(\Rightarrow\) \(\dfrac{x}{y}=\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4}\)

Khi đó ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x}{y}=\dfrac{3}{4}\\x+y=10\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{10}{3+4}.3=\dfrac{30}{7}\\y=\dfrac{10}{3+4}.4=\dfrac{40}{7}\end{matrix}\right.\)

Suy ra \(x^2+y^2=\left(\dfrac{30}{7}\right)^2+\left(\dfrac{40}{7}\right)^2=\dfrac{2500}{49}\).

@58842@

Ví dụ 4: Cho tam giác \(ABC\) có trung tuyến \(AM\). Gọi \(AD\)\(AE\) lần lượt là phân giác góc \(\widehat{AMB}\) và \(\widehat{AMC}\) (\(D\in AB,E\in AC\)). Chứng minh rằng: \(DE\)//\(BC\)?

Giải:

Do \(AM\) là trung tuyến của \(\Delta ABC\) \(\Rightarrow\) \(M\) là trung điểm \(BC\) \(\Rightarrow BM=CM\)

Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác \(AMB\) ta có: \(\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AM}{BM}\)

Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác \(AMC\) ta có: \(\dfrac{AE}{EC}=\dfrac{AM}{CM}\)

Do \(BM=CM\) nên \(\dfrac{AM}{BM}=\dfrac{AM}{CM}\) hay \(\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE}{EC}\).

Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét đối với \(\Delta ABC\) ta suy ra \(DE\)//\(BC\).

Ví dụ 5: Cho \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) có \(AB=AC=5cm\)\(BC=8cm\)\(I\) là giao điểm các đường phân giác trong tam giác. Tính \(BI?\)

Giải:

Do \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) nên phân giác \(AH\) đồng thời là đường cao và trung tuyến của tam giác.

Suy ra \(AH\perp BC\) và \(HB=HC=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}.8=4\left(cm\right)\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(HAB\) ta có: \(AH^2+HB^2=AB^2\)

\(\Rightarrow AH=\sqrt{AB^2-HB^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3\) (cm)

Áp dụng tính chất phân giác trong tam giác \(HAB\) ta có: \(\dfrac{IA}{IH}=\dfrac{AB}{BH}\)

\(\Rightarrow\) \(\dfrac{IA}{AB}=\dfrac{IH}{BH}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{IA}{AB}=\dfrac{IH}{BH}=\dfrac{IA+IH}{AB+BH}=\dfrac{AH}{AB+BH}=\dfrac{3}{5+4}=\dfrac{1}{3}\)

\(\Rightarrow\dfrac{IH}{BH}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow IH=\dfrac{1}{3}.BH=\dfrac{1}{3}.4=\dfrac{4}{3}\) (cm)

Xét \(\Delta BHI\) vuông tại \(H\). Áp dụng định lí Pytago ta có: \(BH^2+IH^2=BI^2\)

\(\Rightarrow BI=\sqrt{BH^2+IH^2}=\sqrt{4^2+\left(\dfrac{4}{3}\right)^2}=\dfrac{4\sqrt{10}}{3}\) (cm)

Vậy \(BI=\dfrac{4\sqrt{10}}{3}\left(cm\right)\).

Chú ý: Định lí vẫn đúng đối với tia phân giác của góc ngoài của tam giác.

Ví dụ: Xét tam giác \(ABC\) có \(AD'\) là tia phân giác của góc ngoài góc \(BAC\) (\(D'\in BC\))

Khi đó ta cũng có: \(\dfrac{D'B}{D'C}=\dfrac{AB}{AC}\).

Ta có thể kẻ \(BE'\)//\(AC\) và chứng minh tương tự như trường hợp tia phân giác trong của tam giác.

 

@1491229@