Bài 2: Tính chất cơ bản của phân thức

Nội dung lý thuyết

Các phiên bản khác

1. Tính chất cơ bản của phân thức

Trước tiên, ta xét các ví dụ sau:

Ví dụ 1: Cho phân thức \(\dfrac{x^2-2x}{x+2}\). Nhân cả tử và mẫu của phân thức này với \(x+2\), ta được phân thức mới là \(\dfrac{\left(x^2-2x\right)\left(x+2\right)}{\left(x+2\right)^2}\).

Dùng định nghĩa ở bài trước, ta dễ dàng kiểm tra được phân thức mới \(\dfrac{\left(x^2-2x\right)\left(x+2\right)}{\left(x+2\right)^2}\) bằng phân thức \(\dfrac{x^2-2x}{x+2}\) đã cho như sau:

Giả sử \(\dfrac{x^2-2x}{x+2}\) \(=\dfrac{\left(x^2-2x\right)\left(x+2\right)}{\left(x+2\right)^2}\) 

\(\Leftrightarrow\left(x^2-2x\right)\left(x+2\right)^2=\left(x^2-2x\right)\left(x+2\right)\left(x+2\right)\). Đây là một điều luôn đúng.

Như vậy, trong ví dụ trên, khi nhân cả tử và mẫu với cùng một đa thức \(x+2\), ta được phân thức mới bằng phân thức đã cho.

Ví dụ 2: Cho phân thức \(\dfrac{x^2y\left(x+1\right)}{x\left(x+1\right)^2}\). Chia cả tử và mẫu của phân thức này cho \(x\left(x+1\right)\), ta được phân thức mới là \(\dfrac{xy}{x+1}\).

Dùng định nghĩa, ta dễ dàng kiểm tra phân thức mới \(\dfrac{xy}{x+1}\) bằng phân thức đã cho \(\dfrac{x^2y\left(x+1\right)}{x\left(x+1\right)^2}\) như sau:

Giả sử \(\dfrac{x^2y\left(x+1\right)}{x\left(x+1\right)^2}\) \(=\dfrac{xy}{x+1}\) 

\(\Leftrightarrow x^2y\left(x+1\right)\left(x+1\right)=x\left(x+1\right)^2.xy\Leftrightarrow x^2y\left(x+1\right)^2=x^2y\left(x+1\right)^2\). Đây là một điều luôn đúng.

Như vậy, trong ví dụ này, đa thức \(x\left(x+1\right)\) là một nhân tử chung của cả tử và mẫu. Khi đem cả tử và mẫu của phân thức đã cho chia cho nhân tử chung \(x\left(x+1\right)\) này, ta được phân thức mới bằng với nó.

Tương tự như 2 ví dụ trên, với mọi phân thức đại số, ta đều có tính chất sau:

  • Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức 0 thì được một phân thức bằng phân thức đã cho:

\(\dfrac{A}{B}=\dfrac{A.M}{B.M}\) (\(M\) là một đa thức khác đa thức 0).

  • Nếu chia cả tử và mẫu của một phân thức cho một nhân tử chung của chúng thì được một phân thức bằng phân thức đã cho:

\(\dfrac{A}{B}=\dfrac{A:N}{B:N}\) (\(N\) là một nhân tử chung).

Tính chất này được gọi là tính chất cơ bản của phân thức.

@56410@

2. Quy tắc đổi dấu

Xét phân thức đại số \(\dfrac{A}{B}\). Theo tính chất cơ bản của phân thức, khi nhân cả tử và mẫu của phân thức này với đa thức \(-1\), ta được phân thức mới bằng phân thức đã cho.

Như vậy, ta có: \(\dfrac{A}{B}=\dfrac{A.\left(-1\right)}{B.\left(-1\right)}=\dfrac{-A}{-B}.\)

Tính chất này được phát biểu thành quy tắc đổi dấu sau đây:

Nếu đổi dấu cả tử và mẫu của một phân thức đại số thì được một phân thức bằng phân thức đã cho: 

\(\dfrac{A}{B}=\dfrac{-A}{-B}.\)

Lưu ý: Phải đổi dấu cả tử và mẫu, không được đổi dấu một trong hai thành phần.

Ví dụ: \(\dfrac{x^2-xy}{4-x}=\dfrac{-\left(x^2-xy\right)}{-\left(4-x\right)}=\dfrac{xy-x^2}{x-4}\). Ta dễ dàng dùng định nghĩa để kiểm tra kết quả này là đúng.

Tổng kết: Như vậy, để tạo ra những phân thức mới bằng phân thức đã cho, ta có các cách làm:

  • Nhân cả tử và mẫu với cùng một đa thức khác 0.
  • Chia cả tử và mẫu cho cùng một nhân tử chung.
  • Đổi dấu cả tử và mẫu.

Ta có thể sử dụng linh hoạt 3 cách làm này để biến đổi phân thức, tùy theo yêu cầu của từng bài tập.

Ví dụ: Tìm đa thức \(P\left(x\right)\) sao cho \(\dfrac{x^2+2}{x-1}=\dfrac{-3x^3-6x}{P\left(x\right)}\).

Lời giải:

Ta có: \(\dfrac{x^2+2}{x-1}=\dfrac{\left(x^2+2\right).3x}{\left(x-1\right).3x}=\dfrac{3x^2+6x}{3x^2-3x}=\dfrac{-3x^2-6x}{3x-3x^2}.\)

\(\Rightarrow P\left(x\right)=3x-3x^2.\)

Trong ví dụ này, ta nhân cả tử và mẫu của phân thức đã cho với đa thức \(3x\), sau đó thực hiện đổi dấu cả tử và mẫu để thỏa mãn yêu cầu của bài toán.

@550826@