§3. Tích của vectơ với một số

1. Định nghĩa

Cho số \(k\ne0\) và vectơ \(\overrightarrow{a}\ne\overrightarrow{0}\). Tích của vectơ \(\overrightarrow{a}\) với số \(k\) là một vectơ, kí hiệu là \(k\overrightarrow{a}\), cùng hướng với \(\overrightarrow{a}\) nếu \(k>0\), ngược hướng với \(\overrightarrow{a}\) nếu \(k< 0\) và có độ dài bằng \(\left|k\right|\left|\overrightarrow{a}\right|\).

Ta quy ước \(0\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}\), \(k\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}\).

Người ta còn gọi tích của vectơ với một số là tích của một số với một vectơ.

Ví dụ 1: Cho \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\), \(D\) và \(E\) lần lượt là trung điểm của \(BC\) và \(AC\). Khi đó ta có:  \(\overrightarrow{GA}=\left(-2\right)\overrightarrow{GD}\)  ;

               \(\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{GD}\)  ;

               \(\overrightarrow{DE}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\)  ; ...

Ví dụ 2: Cho vectơ \(\overrightarrow{a}\) có \(\left|\overrightarrow{a}\right|=4\). Tìm số thực \(x\) sao cho vectơ \(x\overrightarrow{a}\) có độ dài bằng 1 và cùng hướng với \(\overrightarrow{a}\).

Giải:

Ta có: \(\left|x\overrightarrow{a}\right|=1\Leftrightarrow\left|x\right|.\left|\overrightarrow{a}\right|=1\Leftrightarrow\left|x\right|.4=1\Leftrightarrow\left|x\right|=\dfrac{1}{4}\)

Lại có vectơ \(x\overrightarrow{a}\) cùng hướng với \(\overrightarrow{a}\) nên \(x>0\)

Suy ra \(x=\dfrac{1}{4}\) là giá trị cần tìm.

2. Tính chất

Với hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) bất kì, với mọi số \(h\) và \(k\), ta có:

          \(k\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)=k\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}\) ;

         \(\left(h+k\right)\overrightarrow{a}=h\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{a}\)  ;

          \(h\left(k\overrightarrow{a}\right)=\left(hk\right)\overrightarrow{a}\) ;

          \(1.\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}\), \(\left(-1\right)\overrightarrow{a}=-\overrightarrow{a}\).

3. Trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác

     a) Nếu \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) thì với mọi điểm \(M\) ta có \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}\) ;

     b) Nếu \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) thì với mọi điểm \(M\) ta có \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}\).

4. Điều kiện để hai vectơ cùng phương

Điều kiện cần và đủ để hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) (\(\overrightarrow{b}\ne\overrightarrow{0}\)) cùng phương là có một số \(k\) để \(\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{b}\).

Thật vậy, nếu \(\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{b}\) thì hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) cùng phương.

Ngược lại, giả sử \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) cùng phương. Ta lấy \(k=\dfrac{\left|\overrightarrow{a}\right|}{\left|\overrightarrow{b}\right|}\) nếu \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) cùng hướng và lấy \(k=-\dfrac{\left|\overrightarrow{a}\right|}{\left|\overrightarrow{b}\right|}\) nếu \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) ngược hướng. Khi đó ta có \(\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{b}\).

Nhận xét: Ba điểm phân biệt \(A,B,C\) thẳng hàng khi và chỉ khi có số \(k\) khác 0 để \(\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}\).

Ví dụ 2: Cho tam giác \(ABC\). Tìm vị trí của điểm \(M\) sao cho \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\).

Giải:

Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\)

Theo tính chất về trọng tâm tam giác ta có \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}\)

Do đó: \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\)

       \(\Leftrightarrow\) \((\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC})+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\)

       \(\Leftrightarrow\) \(3\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\)

       \(\Leftrightarrow\) \(\overrightarrow{MC}=-3\overrightarrow{MG}\)